Rusz głową, Hobby

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
•
Co 2 tygodnie
Układanki logi
ZABAWY
KOLEKCJA
Z MATEMATYKĄ
I LOGIKĄ
Samotnik - gra wymyślona
przez więźnia Bastylii
KAGOSTINI
POJĘCIE LICZBY, KTÓRE POZNAJEMY JUŻ JAKO DZIECI, JEST JEDNYM Z NAJTRUDNIEJSZYCH KONCEPTÓW,
Z KTÓRYMI SPOTYKA SIĘ CZŁOWIEK PRZEZ CAŁE SWOJE ŻYCIE. JEST TO TAKŻE JEDEN Z NIELICZNYCH
PRZYKŁADÓW POJĘĆ WCZEŚNIEJSZYCH OD SŁOWA.
• Systemy numeryczne
Nauka liczenia
SYMBOLE OBRAZOWE
SYMBOLE SŁOWNE
Konkretne przedmioty
Kość lub drewno
Palce
Stówa mające Stówa niemające
(kamienie, muszle,
znaczone
Węzły (liczenie dostowne
rzeczywiste
rzeczywistych
•
drewienka itp.)
wcięciami
lub umowne)
odpowiedniki
odpowiedników
••
•
/
ręka
dłoń
pięć
five
)
Wieża hanojska
to układanka logiczna,
której rozwiązanie bazuje
na znajomości systemów
numerycznych. Wymyślono
ją pod koniec XIX w. i od tego
czasu niezmiennie cieszy się wielką
popularnością.
•
li,
JUK—
«l
rj
n
7
Z
arówno pojęcie liczby, jak i jej praktyczne
m
• •
\
E
•
ni
u
• •
zastosowanie jest nierozerwalnie związane
z ludzką cywilizacją. Na początku za pomocą
znaków przedstawiano tylko niewielkie ilości,
potem obiekty zaczęto grupować w coraz to
większe zbiory, do których reprezentowania
potrzebne były nowe symbole. Rozwój społecz
ny, postęp techniczny, nowe relacje ekonomiczne
czy odkrycia w dziedzinie astronomii pociągnęły
za sobą rozwój systemów numerycznych, wśród
których systemy dziesiątkowe, takie jak na przy
kład ten, którego używamy dzisiaj, zdecydowanie
triumfowały. Jednakże sam proces liczenia bywał
kłopotliwy. Nie można było całkowicie polegać
tylko na dokładności rachmistrza, wkrótce więc do
najtrudniejszych obliczeń zaczęto wykorzystywać
specjalne urządzenia. Jednym z pierwszych był tak
zwany abakus, czyli liczydła. Dziś powszechne
jest stosowanie różnych przyrządów i programów
do dokonywania obliczeń.
n
5
t
V
e
n
c
Symbole bez
odpowiednika wizualnego
Litery alfabetu
o wartości
porządkowej
Litery alfabetu
o wartości
numerycznej
Symbole
z odpowiednikiem
wizualnym
SYMBOLE PISANE
pojedynczo przechodziły przez wąskie przejście,
będzie wyjmował po jednym kamyku, któremu
odpowiada jedna owca. W ten sposób jeżeli
pozostanie mu w worku jeden kamyk, będzie
wiedział, że zgubiła się jedna owca, i analogicz
nie, dwa kamyki - dwie owce, itd. Do takiego
• Schemat pokazuje wszyst
kie możliwe metody poli
czenia bądź przedstawienia
liczebnie pięciu łosi. Różnica
pomiędzy nimi, niezależnie
od tego, czy są to metody
słowne, czy pisane, polega
na obecności lub jej braku
wizualnego odpowiednika.
Metody, którym go brakuje,
mają charakter abstrakcyjny
i wskazują na wyższy stopień
rozwoju kulturowego.
•Pierwsze rachunki
Bezpośrednia percepcja liczby, czyli możliwość
określenia na pierwszy rzut oka ilości danych
obiektów, nie przekracza 4. Powyżej tej liczby
zaczynamy obiekty liczyć. Najbardziej prymi
tywnym sposobem liczenia jest porównywanie
po jednym przedmiotów, które składają się na
dwa różne zbiory. Tak na przykład, jeżeli pasterz
chce policzyć swoje owce, wystarczy, że do
woreczka, który będzie miał w tym celu, włoży
taką liczbę kamyków, jaka jest liczba owiec
w stadzie. Kiedy owce, wracając do zagrody, będą
Jedną z najlepiej opra
cowanych metod liczenia
z pomocą rąk jest mimika
dłoni. Przez wieki używa
no jej w rejonie Morza
Śródziemnego i na Bliskim
Wschodzie. Przedstawioną
na obrazku metodę opraco
wał Luca Pacioli.
3
CIEKAWOSTK
liczenia człowiek pierwotny wykorzystywał
różne przedmioty: kamienie, drewienka, muszle,
robił wcięcia w drewnie czy węzły na sznurkach.
Był to sposób prosty i wydajny, gdy chodziło
o niezbyt duże liczby obiektów. Żeby można było
powiedzieć, że człowiek naprawdę pojął istotę
liczenia, konieczne były jednak bardziej skom
plikowane sposoby wyrażania działań matema
tycznych.
•Ilość i kolejność
Zdolność pojmowania przez człowieka tak
abstrakcyjnego pojęcia, jakim jest liczba,
możliwa jest dzięki długiemu i skompliko
wanemu procesowi. W samym fakcie wyko
rzystywania tak różnych rzeczy, jak kamie
nie, drewienka czy choćby symboliczne
rysunki, zawiera się zalążek bardzo
ważnego konceptu, jakim jest liczba
główna. Oznacza to, że przeznacze
nie używanych przedmiotów nie ma
żadnego związku z faktem wykorzy
stania ich do liczenia. W celu pol
czenia dziesięciu owiec możemy
wykorzystać zarówno kamienie,
jak i palce u rąk, nie ma to żadne
go wpływu na wynik.
Rzymianie nadawali imiona własne tylko
pierwszym czworgu dzieciom, kolejne
numerowali: quintus (piąty), sextus (szósty),
octavius (ósmy), decimus (dziesiąty).
W wypadku wielodzietnych rodzin nierzadko
się zdarzało, że jedno z dzieci nazywano
numerius (liczny).
Nie tylko za
pomocą palców
Papuasi z Nowej Gwinei
wskazują poszczególne
liczby, dotykając różnych części
ciała. Począwszy od najmniejszego palca
u prawej dłoni, który oznacza
cyfrę jeden, przechodzą przez pozostałe
palce, nadgarstek, łokieć, ramię, ucho,
nos, usta i oczy do lewego ramienia i tak
kontynuują aż do najmniejszego
palca lewej ręki, który oznacza
liczbę 22.
W przyrodzie znane są przykłady zwierząt
posiadających zdolność liczenia. Osy
samotniczki potrafią liczyć żywe larwy,
które zostawiają jako pożywienie
w komórkach, w których złożyły jaja.
Zawsze jest to dokładna
liczba: 5,12 lub 24.
Nauka liczenia
W ten sposób liczba staje się pojęciem abstrakcyj
nym. Kolejnym krokiem w rozwoju abstrakcyjne
go pojęcia liczby jest zrozumienie kolejności,
czyli że istnieje coś pierwszego, drugiego,
trzeciego itd. Ta idea pojawia się w sposób
naturalny, kiedy zebrane przedmioty układa się
rzędem albo po prostu jeden obok drugiego. Tak
pojawia się pojęcie liczby porządkowej. Jednak,
przeliczając taką kolekcję, należy poświęcić
szczególną uwagę ostatniemu numerowi, ponie
waż to właśnie on daje nam pojęcie o wielkości
całego zbioru.
System babiloński
1
2
3
4
5
m
y
y
w
6
7
8
9
10
-<
50
20
30
40
52
-^YY
GRUPOWANIE LICZB
Cztery kreski na ścianie przekreślone piątą od
razu kojarzą się nam z więźniem, który odlicza
dni swojej odsiadki. Taki sposób zapisu oznacza,
iż ktoś, kto go wykonał, nie tylko umie liczyć, ale
potrafi też grupować liczby.
Początkowo liczba rzeczy, które można byłoby
liczyć, nie była zbyt duża. Potem jednak pojawiła
się potrzeba numerowania i nazywania o wiele
większych grup obiektów, przekraczających setki
i tysiące (wpływ astronomii, która rozwinęła się
w społeczeństwach bardziej zaawansowanych,
okazał się tu decydujący). Również zasób słów.
jakim dysponuje każdy język, jest do pewne
go stopnia ograniczony. Fakt ten, jak i wygoda
w dokonywaniu obliczeń
sprawiły, że prymityw
ne plemiona zaczę
ły grupować
• Tablica z terakot}', pocho
dząca sprzed 2400 lat p.n.e.
Babiloński system numerycz
ny został stworzony przez
matematyków i astronomów
2000 lat p.n.e. To najbardziej
zaawansowany sposób licze
nia w starożytności. Jest to
system pozycyjny opierający
się na dwóch znakach kształ
tem przypominających klin
(stąd nazwa pismo klinowe).
Klin pionowy oznaczał jedno
ści, klin poziomy - dziesiątki.
....
System egipski
4
5
6
7
8
9
I II
! II
III III
llll
INI
III
II
II
III
III
llll
III
•4 Złota
moneta z okresu
hellenistycznego,
wybita w Egipcie, o war
tości K, czyli 20 drachm.
Wynalezienie alfabetu
pozwoliło wielu kulturom,
takim jak grecka czy hebraj
ska, na wykorzystanie kolej
ności liter do oznaczania
cyfr. Czasem prowadziło
to do nieporozumień,
gdyż można było pomylić
liczbę z wyrazem.
n
10
(L
100
System grecki
1
2
3
4
5
6
7
Z
8
H
9
G
90
1000 10 000 100 000 1 000 000
A
A
E
B
r
E
10
20 30 40
50 60
K
A
I
M
N E
o
n
• Egipski system pozwalał
na dokonywanie obliczeń
nawet do miliona. Dziewięć
pierwszych cyfr oznaczano
kreskami, dziesiątkom
cona litera U, setkom
spirala. Dla wyrażenia
większych liczb używano
hieroglifów. Człowiek sie
dzący z rękoma uniesionymi
do góry oznaczał
100
200
300
400
500
p
I
T
Y
600
700
800
900
przy
X
Q
m
porządkowana
była odwró
milion.
Systemy numeryczne
liczby w całości. Najmniejszą elementarną cało
ścią jest dwójka. Niektóre całości opierają się na
zgrupowaniach naturalnych, jak na przykład piąt
ka (liczba palców u dłoni) czy dziesiątka (liczba
palców u obu dłoni). To właśnie ta ostatnia dała
początek systemowi dziesiętnemu, którego używa
my dzisiaj. Jest to także podstawa innych syste
mów numerycznych.
•Nie zawsze dziesiątka
Gdy kupujemy 12 jajek, wydaje się nam to
zupełnie naturalne i zwyczajne (12 jako całość
stosowana była już w starożytności i pochodzi
najprawdopodobniej od 12 konstelacji i znaków
zodiaku), a jest to zaledwie jeden z przykładów
zastosowania różnych całości, jakie spotykamy
obecnie w życiu codziennym. W języku francu
skim do dzisiaj mamy pozostałości po systemie
numerycznym opierającym się na dwudziestce
(łączna liczba palców u dłoni i stóp). Widać to
chociażby na przykładzie liczby 83, która po fran
cusku to quatre-vingt-trois, czyli dosłownie tłu
macząc „cztery dwudziestki i trzy". Innym przy
kładem jest sposób mierzenia czasu czy kątów.
Mierząc czas, jako bazę stosujemy 60 (miara
ta stosowana była w systemie babilońskim).
60 sekund składa się na minutę,
a 60 minut daje godzinę.
System rzymski
I
1
V
5
1
11
III
IV
V
VI
VII
VIII
IX
X
X
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
L
50
XX
XXX XL
L
c
LX
LXX
LXXX
\C
100
c
20
50
30
40
60
70
80
90
100
D
500
1968
zapisujemy MCMLXVIII, a
2003
zapisujemy MMIII
M
1000
DlC^CLI*
/
A Płyta kamienna
z gospody znaleziona
w Meridzie. Rzymski system
numeryczny, mimo iż nie
był systemem pozycyjnym,
mocno zakorzenił się
w kulturze europejskiej.
Stosuje się go również
obecnie do oznaczania
wieków, wyszczególniania
i wypunktowywania pewnych
informacji czy też podczas
przyznawania nagród na
olimpiadach i w konkursach.
*
f»
mi
System Majów
v
^7
•*»%..—
0
1
3SO
ma f\
1£3 '
7
8
9
10 11 12 13
System chiński
m
14
15 16 17
18 19
-
-
s
1
2
3
4
5
A -fc A
X
6
•Inne sposoby liczenia
S
ystem numeryczny Majów opierał się na pro
A
System numeryczny
Majów opierał się na użyciu
kropek i kresek, zawierał
cyfrę zero.
• Trzynaście podstawowych
ideogramów
7
8
stych znakach, którymi zapisywano cyfry.
Były to kropki i kreski pogrupowane po pięć.
Znane było również zero, które oznaczano sym
bolem muszli.
Chińczycy natomiast do dzisiaj stosują system
numeryczny, który wymyślili ponad sześć tysięcy
lat temu. Bazuje on na trzech podstawowych zna
kach, które odpowiadają ideogramom ich pisma.
Czasem znaki te przybierały specjalne kształty,
tak zwane gan-ma-zi, czyli inaczej „znaki sekret
ne", których używano w kryptografii. Nimi też
do niedawna handlarze zapisywali ceny swoich
towarów.
Pigmeje zamieszkujący Afrykę używają systemu,
którego podstawą jest trójka. Dla pierwszych
trzech cyfr są to słowa: a (1), oa (2), ua (3), dalej
stosują ich kombinacje dla wyrażenia innych liczb,
jak na przykład oa-oa (4), oa-ua (5), ua-ua (6).
100
1000
10 000
chińskiej
10
numeracji.
Duże liczby
W starożytności podczas liczenia nie przekraczano liczby kilku
tysięcy. Nie byto potrzeby jej przekraczania, gdyż nie byto takiej
liczby jakichkolwiek obiektów, które można by policzyć. Chcąc
powiedzieć, że czegoś jest nieskończenie wiele, mówiono „więcej
niż gwiazd na niebie". Liczba „milion" pojawiła się dopiero
w średniowieczu. Właśnie wtedy astronomowie rozpoczęli liczenie
gwiazd, a w handlu zwiększyły się obroty. Jest to słowo pochodzenia
łacińskiego oznaczające „wielki tysiąc" lub „tysiąc razy tysiąc".
Liczby, takie jak bilion czy trylion, pojawiły się znacznie później.
6
[ Pobierz całość w formacie PDF ]

Rusz głową, Hobby

Tematy