Rozdz 8B(1), Hydromechanika

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Strumieı ciepþa doprowadzonego do elementu pþynu moŇe byę skutkiem reakcji
chemicznych, przewodnictwa cieplnego, promieniowania, jonizacji i innych proce-
sw. Uwzglħdnimy tylko strumieı ciepþa dostarczony drogĢ przewodnictwa cieplne-
go; jego zmiana w kierunku osi x (rys. 8.5) wynosi
q
d
y
d
z
-
Å
Æ
q
+
q
x
d
x
Õ
Ö
d
y
d
z
=
-
q
x
d
t
.
x
x
x
x
Skþadowa għstoĻci strumienia ciepþa q
x
jest okreĻlona zgodnie z prawem Fouriera
wzorem
q
x
=
-
l
T
,
(8.23)
x
( ) jest wspþczynnikiem przewodzenia ciepþa, zaleŇnym - w ogl-
nym przypadku - od temperatury i ciĻnienia.
Analogicznie otrzymuje siħ zmiany strumienia ciepþa w pozostaþych kierunkach
osi wspþrzħdnych, co pozwala na zapisanie strumienia ciepþa Q
#
w postaci rwnania
]
Q
#
=
div
(
l
grad
T
)
.
d
t
(8.24)
Wynikiem poþĢczenia wszystkich uzyskanych rezultatw jest rwnanie zachowa-
nia energii
r
d
Å
Æ
V
2
+
c
T
Õ
Ö
=
r
F
C
µ
V
C
-
div
( )
p
V
C
+
d
t
2
v
+
div
(
l
grad
T
)
(
+
s
V
+
t
V
+
t
V
)
+
x
x
x
x
x
y
y
x
z
z
+
(
t
V
+
s
V
+
t
V
) (
+
t
V
+
t
V
+
s
V
)
,
(8.25)
y
x
y
x
y
y
y
y
z
z
z
z
x
x
z
y
y
z
z
z
ktre - po podstawieniu zaleŇnoĻci dla naprħŇeı (8.4), (8.5), (8.11) i wykorzystaniu
oznaczeı (3.25) - moŇna przedstawię nastħpujĢco
r
d
Å
Æ
V
2
+
c
T
Õ
Ö
=
r
F
C
µ
V
C
-
div
( )
(
p
V
C
+
div
l
grad
T
)
+
d
t
2
v
2
( )
C
C
Ä
V
2
Ô
Ä
V
2
Ô
Ê
+
-
div
m
V
div
V
+
Å
Æ
m
x
Õ
Ö
+
Å
Æ
m
y
Õ
Ö
+
3
x
x
y
Å
y
Õ
Ä
V
2
Ô
[
(
)
]
+
+
Å
Æ
m
z
Õ
Ö
+
2
m
V
q
+
V
q
z
z
x
y
z
z
y
218
Ä
Ô
gdzie
[
l W mK
Ä
Ô
Ä
Ô
+
2
[
m
(
V
q
+
V
q
)
]
+
2
[
m
(
V
q
+
V
q
)
]
.
Ú
(8.26)
y
x
z
z
x
z
x
y
y
x
Rwnanie (8.26) moŇemy przeksztaþcię w sposb czysto formalny i wprowadzię
entalpiħ (7.7). Po wykorzystaniu toŇsamoĻci
( )
C
C
C
div
p
V
=
p
div
V
+
V
grad
p
(8.27)
oraz rwnania ciĢgþoĻci (3.18)
p
div
V
C
=
-
p
d
r
=
r
d
Æ
p
Ö
-
d
p
=
r
d
t
d
t
r
d
t
(8.28)
C
=
r
d
Æ
p
Ö
-
p
-
V
µ
grad
p
,
d
t
r
t
mamy
d
Ä
V
2
Ô
C
C
p
(
)
r
Å
Æ
+
i
Õ
Ö
=
r
F
µ
V
+
+
div
l
grad
T
+
d
t
2
t
( )
C
C
Ä
V
2
Ô
Ä
V
2
Ô
Ê
2
Å
Æ
Õ
Ö
+
-
div
m
V
div
V
+
Å
Æ
m
x
Õ
Ö
+
m
y
+
3
x
x
y
Å
y
Õ
Ä
V
2
Ô
[
(
)
]
+
+
Å
Æ
m
z
Õ
Ö
+
2
m
V
q
+
V
q
z
z
x
y
z
z
y
+
2
[
m
(
V
q
+
V
q
)
]
+
2
[
m
(
V
q
+
V
q
)
]
.
Ú
(8.29)
y
x
z
z
x
x
x
y
y
x
, oraz
dodajĢc je stronami uzyskamy rwnanie okreĻlajĢce zmianħ energii wewnħtrznej
V ,
x
V
z
pþynu
r
d
Å
Æ
V
2
Õ
Ö
.
JeĻli rwnanie to odejmiemy nastħpnie stronami od rwnania
d
t
2
energii (8.25), to otrzymamy rwnanie
r
d
(
c
T
)
=
-
p
div
V
C
+
F
+
div
(
l
grad
T
)
, (8.30)
d
t
v
w ktrym
F
jest skþadnikiem reprezentujĢcym dyssypacjħ energii mechanicznej
F
=
s
x
x
e
x
+
s
y
y
e
y
+
s
z
z
e
z
+
2
(
t
x
y
q
z
+
t
y
z
q
x
+
t
z
x
q
y
)
=
219
Ä
Ô
Ä
Ô
MnoŇĢc kolejne rwnania ruchu (8.13) przez skþadowe prħdkoĻci
Ä
Ô
=
2
m
Ç
(
e
2
+
e
2
+
e
2
)
-
1
(
e
+
e
+
e
)
2
+
2
(
q
2
+
q
2
+
q
2
)
<
É
x
y
z
3
x
y
z
x
y
z
Ù
<
4
m
Ç
(
q
2
+
q
2
+
q
2
)
+
1
(
e
+
e
+
e
)
2
×
>
0
,
(8.31)
É
x
y
z
3
x
y
z
Ù
tzn. tħ czħĻę pracy siþ powierzchniowych, ktra nie ulega przeksztaþceniu na energiħ
kinetycznĢ pþynu, ale na jego energiħ wewnħtrznĢ, powodujĢc podwyŇszenie tempe-
ratury pþynu.
Rwnanie (8.30), przy wykorzystaniu zaleŇnoĻci (8.28) i (7.7), moŇna zapisaę
rwnieŇ w postaci
r
d
i
=
d
p
+
F
+
div T
(
l
grad
)
.
(8.32)
d
t
d
t
Z kolei zajmiemy siħ zmianami entropii zachodzĢcymi w elemencie gazu. Opie-
rajĢc siħ na zwiĢzkach (7.8) i (7.11) mamy
r
T
d
s
=
r
d
i
-
d
p
.
(8.33)
d
t
d
t
d
t
Z porwnania zaleŇnoĻci (8.32) i (8.33) otrzymamy wzr
r
T
d
s
=
F
+
div T
(
l
grad
)
,
(8.34)
d
t
z ktrego wynika, Ňe zmiany energii pþynu zaleŇĢ wyþĢcznie od efektw dyssypatyw-
nych, tzn. od lepkoĻci i przewodnoĻci cieplnej. Oznacza to, Ňe entropia poruszajĢce-
go siħ elementu pþynu jest staþa, jeĻli pþyn jest nielepki i nie przewodzi ciepþa.
8.4. Podstawowe zagadnienie mechaniki pþynw
Podstawowe zagadnienie mechaniki pþynw polega na wyznaczeniu ruchu pþynu
w sĢsiedztwie zadanego ciaþa i sprowadza siħ do rozwiĢzania ukþadu rwnaı rŇ-
niczkowych wynikajĢcych z praw zachowania, z odpowiednimi warunkami brzego-
wymi i poczĢtkowymi.
Ukþad rwnaı dla pþynu lepkiego i ĻciĻliwego, doskonaþego w sensie termody-
namicznym, skþada siħ z rwnania ciĢgþoĻci (3.18), trzech rwnaı ruchu (8.13),
rwnania zachowania energii (8.26) i ukþadu rwnaı (1.13) (1.15). MoŇliwe jest
zatem wyznaczenie szeĻciu niewiadomych funkcji:
VV
z
x
y
,
V
,
p
,
,
T
220
×
, r
- przy zaþoŇe-
niu, Ňe znane sĢ zaleŇnoĻci wyznaczajĢce lepkoĻę pþynu m i przewodnoĻę cieplnĢ l -
przykþadem takiej zaleŇnoĻci jest wzr (1.8).
W a r u n k i p o c z Ģ t k o w e
, formuþowane tylko dla niestacjonarnych ruchw
pþynu, charakteryzujĢ stan ruchu pþynu oraz jego stan fizyczny w pewnej chwili
t t
0
, uznanej umownie za chwilħ poczĢtkowĢ badanego zjawiska. Dla t t
=
0
mu-
simy wiħc okreĻlię wartoĻci kaŇdej spoĻrd funkcji niewiadomych, np.:
C
C
Ú
V
=
V
(
x
,
y
,
z
,
t
)
,
p
=
p
(
x
,
y
,
z
,
t
)
,
Û
0
0
0
0
(8.35)
r
=
r
(
x
,
y
,
z
,
t
)
,
T
=
T
(
x
,
y
,
z
,
t
)
.
Ü
0
0
0
0
0
.
W odniesieniu do prħdkoĻci pþynu warunki brzegowe postulujĢ zazwyczaj áprzy-
klejanie siħÑ pþynu do powierzchni ciaþ staþych (rozdz. 1.3); jeĻli powierzchnia brze-
gowa jest nieruchoma wtedy
V
C
=
0
.
(8.36)
W
Warunki brzegowe dla temperatury T mogĢ dotyczyę albo samej temperatury,
albo jej gradientu, zaleŇnie od tego czy powierzchnia ciaþa staþego ma zadanĢ tempe-
raturħ, czy teŇ znany jest strumieı ciepþa transportowanego przez rozwaŇanĢ po-
wierzchniħ. Oprcz tego zwykle zakþadamy jednorodnoĻę przepþywu w nieskoıczo-
noĻci; prħdkoĻę, ciĻnienie, għstoĻę i temperatura w nieskoıczonoĻci powinny wiħc
speþniaę nastħpujĢce warunki:
C
C
Ú
lim
V
=
V
,
lim
p
=
p
,
Û
r
r
(8.37)
lim
r
=
r
,
lim
T
=
T
.
Ü
r
r
8.5. Formy opisu ruchu cieczy lepkiej
C i e c z Ģ l e p k Ģ
nazywaę bħdziemy pþyn newtonowski o staþej għstoĻci, staþej
lepkoĻci m oraz staþej przewodnoĻci cieplnej l. Przy tych zaþoŇeniach ukþad rwnaı,
skþadajĢcy siħ z rwnania ciĢgþoĻci (3.20) i rwnania Naviera-Stokesa (8.17):
div
V
C
=
0
,
Ú
Û
d
V
C
C
1
C
(8.38)
=
F
-
grad
p
+
n
D
V
,
Ü
d
t
r
moŇna rozwiĢzaę niezaleŇnie od rwnania energii (8.26). Oznacza to, Ňe pole tempe-
ratury T
jest wyznaczane dopiero po okreĻleniu pola prħdkoĻci V
C
i pola ciĻnienia
p.
Temperatura odgrywa wiħc rolħ podrzħdnĢ w ruchu cieczy lepkiej, nie wpþywa bo-
wiem na prħdkoĻę i ciĻnienie, co jest konsekwencjĢ przyjħcia staþoĻci m oraz
l.
221
=
W a r u n k i b r z e g o w e odnoszĢ siħ natomiast do brzegu
obszaru prze-
pþywu W i okreĻlajĢ wartoĻę kaŇdej funkcji niewiadomej lub pochodnej tej funkcji
w kaŇdym punkcie brzegu obszaru, w dowolnej chwili
t t
,
napotyka na szereg trudnoĻci, gdyŇ rwnanie ciĢgþoĻci ma istotnie odmiennĢ budowħ
od rwnania Naviera-Stokesa. Z tego teŇ wzglħdu ukþad rwnaı (8.38) jest zastħpo-
wany czħsto innymi rwnaniami rwnowaŇnymi albo teŇ stosowane sĢ metody obli-
czeniowe oparte na wykorzystaniu zmiennych LagrangeÓa.
DziaþajĢc operatorem rotacji na wirowoĻę (3.29)
RozwiĢzywanie ukþadu rwnaı (8.38) dla zmiennych fizycznych:
V
x
V
y
,
V
z
,
p
W
w
C
C
C
C
C
C
C
2
C
rot
=
rot
(
2
)
=
¯
(
¯
V
)
=
¯
(
¯
µ
V
)
-
¯
V
i wykorzystujĢc rwnanie ciĢgþoĻci otrzymamy rwnanie
¯ V
2
C
=
-
rot
C
,
(8.39)
ktre moŇe byę uŇyte zamiast rwnania ciĢgþoĻci. JeĻli pole siþ masowych jednost-
kowych F
C
jest potencjalne, to taka sama operacja zastosowana do rwnania Navie-
ra-Stokesa zezwala na uzyskanie r w n a n i a H e l m h o l t z a
W
C
C
C
C
C
C
C
C
C
W
W
2
W
+
(
V
µ
¯
)
-
(
µ
¯
)
V
=
n
¯
,
(8.40)
t
ktrego lewa strona wynika z przeksztaþcenia zaleŇnoĻci (4.4) za pomocĢ operatora
rotacji, po podstawieniu:
div
V
=
0
,
div
C
=
0
(przykþ. 4.8)
C
d
V
C
W
C
C
C
Ä
2
Ô
C
C
C
V
¯
=
+
¯
¯
Å
Æ
Õ
Ö
-
¯
(
V
rot
V
)
=
d
t
t
2
C
W
C
C
C
C
C
C
=
+
(
V
µ
¯
)
rot
V
-
(
rot
V
µ
¯
)
V
.
t
Rwnania (8.39) i (8.40) tworzĢ ukþad rwnaı, ktry musi byę uzupeþniony nie-
znanymi warunkami brzegowymi dla wektora wirowoĻci
C
- wyznaczanymi w trak-
cie obliczeı. Ponadto, w otrzymanym ukþadzie rwnaı, przybliŇone wartoĻci skþa-
dowych prħdkoĻci mogĢ nie speþniaę rwnania ciĢgþoĻci. Tħ niedogodnoĻę ukþadu
(8.39) (8.40) moŇna usunĢę wprowadzajĢc p o t e n c j a þ w e k t o r o w y
C
=
=
[
Y
,
Y
y
,
Y
z
]
,
zdefiniowany wzorem
C
=
rot
C
;
(8.41)
rwnanie ciĢgþoĻci jest w tym przypadku speþnione toŇsamoĻciowo, poniewaŇ
div
rot
C
0
.
222
C
C
C
x
V
[ Pobierz całość w formacie PDF ]

Rozdz 8B(1), Hydromechanika

Tematy