rozdzial 05 zadanie 37, Inżynieria Środowiska, Mechanika i wytrzymałość materiałów

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
WM
Z5/37. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH –
ZADANIE 37
1
Z5/37. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH –
ZADANIE 37
Z5/37.1. Zadanie 37
Narysować metodą ogólną wykresy sił przekrojowych dla ramy płaskiej przedstawionej na rysunku
Z5/37.1. Wymiary ramy podane są w metrach.
12,0 kN/m
C
B
16,0 kN
D
E
A
4,0
3,0
[m]
Z5/37.1. Rama płaska
Z5/37.2. Analiza kinematyczna belki
Rysunek Z5/37.2. przedstawia ramę płaską traktowaną w analizie kinematycznej jako płaski układ
tarcz sztywnych.
C
I
II
E
A
Rys. Z5/37.2. Rama jako płaska tarcza sztywna
Układ tarcz sztywnych przestawiony na rysunku Z5/37.2 jest układem trójprzegubowym. Dwie tarcze
sztywne posiadają razem sześć stopni swobody. Trzy przeguby rzeczywiste A, C i E odbierają razem sześć
stopni swobody. Został więc tym samym spełniony warunek konieczny geometrycznej niezmienności (2.4).
Dana rama płaska może więc być układem geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.
Jak widać na rysunku Z5/37.2 wszystkie trzy przeguby rzeczywiste A, C i E nie leżą na jednej prostej.
Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności dla układu trójprzegubowego. Jest
więc on geometrycznie niezmienny i statycznie wyznaczalany.
Dr inż. Janusz Dębiński
WM
Z5/37. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH –
ZADANIE 37
2
Z5/37.3. Wyznaczenie reakcji podporowych
Aby wyznaczyć wartości i zwroty reakcji podporowych w ramie płaskiej musimy najpierw przyjąć ich
dodatnie zwroty. Rysunek Z5/37.3 przedstawia założone zwroty reakcji na podporach A i E ramy trójprze-
gubowej traktowanej jako całość. Rysunek Z5/37.4 przedstawia założone zwroty reakcji we wszystkich
podporach układu trójprzegubowego.
12,0 kN/m
C
B
D
16,0 kN
E
H
E
V
E
H
A
A
Y
V
A
[m]
X
4,0
3,0
Rys. Z5/37.3. Założone zwroty reakcji podporowych
H
C
(CE)
C
D
12,0 kN/m
V
C
(CE)
H
C
(AC)
B
C
V
C
(AC)
E
H
E
V
E
16,0 kN
H
C
(AC)
C
H
C
(CE)
H
A
A
V
C
(AC)
V
C
(CE)
Y
X
V
A
[m]
4,0
3,0
Rys. Z5/37.4. Założone zwroty reakcji podporowych
Zgodnie z rysunkiem Z5/37.4 wartości reakcji działających w przegubie rzeczywistym C spełniają
warunki.
Dr inż. Janusz Dębiński
WM
Z5/37. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH –
ZADANIE 37
3
H
C

AC

=
H
C

CE

,
(Z5/37.1)
V
C

AC


V
C

CE

16,0=0
.
(Z5/37.2)
Pierwszym równaniem, z którego otrzymamy reakcje na podporze A jest równanie sumy momentów
wszystkich sił działających na cały układ trójprzegubowy względem punktu E. Zgodnie z rysunkiem Z5/37.3
mamy więc

M
E
=
V
A
⋅7,0−
H
A
⋅2,0−12,0⋅4,0⋅

3,0
2
⋅4,0

−16,0⋅3,020,0⋅3,0⋅
2
⋅3,0=0
.
(Z5/37.3)
7,0⋅
V
A
−2,0⋅
H
A
=198,0
Drugim równaniem, z którego otrzymamy reakcje na podporze A jest równanie sumy momentów wszystkich
sił działających na pręt AC względem punktu C. Zgodnie z rysunkiem Z5/37.4 mamy więc

M
C

AC

=
V
A
⋅4,0−
H
A
⋅5,0−12,0⋅4,0⋅
1
2
⋅4,0=0
.
(Z5/37.4)
4,0⋅
V
A
−5,0⋅
H
A
=96,0
Równania (Z5/37.3) i (Z5/37.4) tworzą układ równań w postaci
{
7,0
⋅
V
A
−
2,0
⋅
H
A
=
198,0
4,0
⋅
V
A
−
5,0
⋅
H
A
=
96,0
.
(Z5/37.5)
Rozwiązaniem tego układu równań są reakcje o wartościach
H
A
=
4,444
kN
,
(Z5/37.6)
V
A
=29,56
kN
.
(Z5/37.7)
Obie reakcje na podporze A mają więc zwroty zgodne z założonymi.
Pierwszym równaniem, z którego otrzymamy reakcje na podporze E jest równanie sumy momentów
wszystkich sił działających na cały układ trójprzegubowy względem punktu A. Zgodnie z rysunkiem Z5/37.3
mamy więc

M
E
=−
V
E
⋅7,0−
H
E
⋅2,012,0⋅4,0⋅
1
2
⋅4,016,0⋅4,020,0⋅3,0⋅

2,0
2
⋅3,0

=0
. (Z5/37.8)
−7,0⋅
V
E
−2,0⋅
H
E
=−370,0
Drugim równaniem, z którego otrzymamy reakcje na podporze E jest równanie sumy momentów wszystkich
sił działających na pręt CE względem punktu C. Zgodnie z rysunkiem Z5/37.4 mamy więc
Dr inż. Janusz Dębiński
 WM
Z5/37. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH –
ZADANIE 37
4

M
C

CE

=−
V
E
⋅3,0
H
E
⋅3,0−20,0⋅3,0⋅
1
2
⋅3,0=0
.
(Z5/37.9)
−3,0⋅
V
E
3,0⋅
H
E
=90,0
Równania (Z5/37.8) i (Z5/37.9) tworzą układ równań w postaci
{
−7,0⋅
V
E
−2,0⋅
H
E
=−370,0
.
(Z5/37.10)
Rozwiązaniem tego układu równań są reakcje o wartościach
H
E
=64,44
kN
,
(Z5/37.11)
V
E
=34,44
kN
.
(Z5/37.12)
Obie reakcje na podporze E mają więc zwroty zgodne z założonymi.
W celu sprawdzenia obliczeń reakcji na podporach A i E zastosujemy równania sumy rzutów wszyst-
kich sił działających na cały układ trójprzegubowy na oś poziomą X i pionową Y. Zgodnie z rysunkiem
Z5/37.3 równania te mają postać

X
=
H
A
−
H
E
20,0⋅3,0=4,444−64,4460,0=0,004
kN
≈0
.
(Z5/37.13)

Y
=
V
A

V
E
−12,0⋅4,0−16,0=29,5634,44−48,0−16,0=0
.
(Z5/37.14)
Jak więc widać cały układ trójprzegubowy znajduje się w równowadze. Rysunek Z5/37.5 przedstawia
prawidłowe wartości i zwroty reakcji na podporach A i E.
12,0 kN/m
C
B
D
16,0 kN
E
64,44 kN
34,44 kN
4,444 kN
A
29,56 kN
[m]
4,0
3,0
Rys. Z5/37.5. Prawidłowe wartości i zwroty reakcji na podporach A i E
Dr inż. Janusz Dębiński
−3,0⋅
V
E
3,0⋅
H
E
=90,0
 WM
Z5/37. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH –
ZADANIE 37
5
Poziomą reakcję w przegubie rzeczywistym C działającą na pręt AC otrzymamy z równania sumy
rzutów wszystkich sił działających na ten pręt na oś X. Zgodnie z rysunkiem Z5/37.4 mamy więc

X

AC

=−
H
C

AC


H
A
=0
−
H
C

AC

4,444=0
H
C

AC

=4,444
kN
.
(Z5/37.15)
Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym.
Pionową reakcję w przegubie rzeczywistym C działającą na pręt AC otrzymamy z równania sumy
rzutów wszystkich sił działających na ten pręt na oś Y. Zgodnie z rysunkiem Z5/37.4 mamy więc

Y

AC

=
V
C

AC


V
A
−12,0⋅4,0=0
V
C

AC

29,56−48,0=0
V
C

AC

=18,44
kN
.
(Z5/37.16)
Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym.
Uwzględniając zależności (Z5/37.1) i (Z5/37.2) otrzymamy poziomą i pionową reakcję w przegubie
rzeczywistym C działające na pręt CE. Mają one wartości
H
C

CE

=4,444
kN
,
(Z5/37.17)
V
C

CE

=−16,0−
V
C

AC

=−16,0−18,44=−34,44
kN
.
(Z5/37.18)
Pozioma reakcja ma zwrot zgodny natomiast pionowa przeciwny do założonego.
W celu sprawdzenia reakcji w przegubie rzeczywistym C zastosujemy równania sumy rzutów wszyst-
kich sił działających na pręt CE na osie X i Y. Zgodnie z rysunkiem Z5/37.4 otrzymamy

X

CE

=
H
C

CE

−
H
E
20,0⋅3,0=4,444−64,4460,0=0,004≈0
,
(Z5/37.19)

Y

CE

=
V
E

V
C

CE

=34,44−34,44=0
.
(Z5/37.20)
Jak więc widać reakcje w przegubie rzeczywistym C zostały wyznaczone prawidłowo. Rysunek Z5/37.6
przedstawia prawidłowe wartości i zwroty reakcji we wszystkich podporach układu trójprzegubowego.
Z5/37.4. Funkcje sił przekrojowych w przedziale AB
Rysunek Z5/37.7 przedstawia siły działające na odciętą część ramy płaskiej w przedziale AB. Na
rysunku tym są zaznaczone dodatnie siły przekrojowe. Jako dolną część pręta AB przyjmiemy jego prawą
część zaznaczoną na rysunku Z5/37.7 linią przerywaną.
W dalszej części niniejszego opracowania przy wyznaczaniu postaci funkcji siły normalnej lub
poprzecznej oraz momentu zginającego w poszczególnych prętach ramy naszej płaskiej będziemy korzystali
z następujących zasad:
Dr inż. Janusz Dębiński
[ Pobierz całość w formacie PDF ]

  • zanotowane.pl
  • doc.pisz.pl
  • pdf.pisz.pl
  • frania1320.xlx.pl

    • Tematy