Rozdzial-2, Studia zaoczne PWR, semestr 5, Podstawy Statyki, Przemieszczenia wirtualne (mroofczak)

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
31
2
wstęp do statyki konstrukcji
prętowych
Część
32
2 WSTĘP DO STATYKI KONSTRUKCJI
PRĘTOWYCH
Jak przekonamy się później (w części czwartej), w bryle o kształcie pręta,
rozkład sił wewnętrznych w przekroju pręta niezwykle prosto uda się wyrazić
poprzez elementy zredukowanego, odpowiedniego układu sił zewnętrznych. Z tej
przyczyny poświęcimy trochę więcej uwagi znajdywaniu tego zredukowanego
układu, odkładając na razie to, co jest naszym celem, a mianowicie znalezienie sił
wewnętrznych, czyli funkcji
P
=
P
(
v
r
,
)
.
2.1 OŚ PRĘTA, PRZEKRÓJ POPRZECZNY, BIEGUN REDUKCJI
W uzupełnieniu podanej w części pierwszej definicji pręta umówimy się
nazywać:
•
Osią pręta – miejsce geometryczne punktów, będących środkami ciężkości
przekrojów pręta dowolnymi płaszczyznami przecinającymi jego tworzące,
•
Przekrojem poprzecznym – przekrój płaszczyzną prostopadłą do osi pręta.
W procesie redukcji układu sił zewnętrznych przyłożonych do jednej z
odciętych części pręta przyjmiemy
stałą
umowę dotyczącą podziału pręta i bieguna
redukcji, a mianowicie:
• pręt dzielić będziemy na dwie części przekrojem poprzecznym,
• biegunem redukcji będzie środek ciężkości przekroju poprzecznego.
2.2 UKŁADY WSPÓŁRZĘDNYCH
Projektując konstrukcje prętowe z reguły będziemy się posługiwać dwoma
układami współrzędnych: układem globalnym (często zwanym − użytkownika) i
układami lokalnymi definiowanymi w każdym pręcie konstrukcji.
2.2.1 UKŁAD GLOBALNY, ORTOKARTEZJAŃSKI
Osie tego układu oznaczamy przez
X
1
,
X
2
,
X
3
lub
X
,
Z
(rys. 2.1), i w nim
zapisujemy:
• Równanie osi pręta w postaci parametrycznej:
)
X
=
X
(
t
),
Y
=
Y
(
t
),
Z
=
Z
(
t
,
a
≤
t
≤
b
(2.1)
,
Y
33
• orientację przekroju poprzecznego,
• przyłożone obciążenie,
• więzy,
Zapisując równanie osi pręta w postaci (2.1), w każdym przypadku początkową
wartość parametru
a
X
(
a
),
Y
(
a
),
Z
(
a
)
Znajomość osi pręta, z oczywistych przyczyn, nie wystarcza dla pełnego zapisu
pręta, jako bryły, w przestrzeni
X,Y,Z.
Zapisać jeszcze należy położenie przekroju
poprzecznego dla każdej wartości
t.
Szczegółowo omówimy problem w następnym
rozdziale pt. „układy lokalne”.
Zapisanie układu sił zewnętrznych oraz więzów nie sprawia problemu.
2.2.2 UKŁAD LOKALNY, KRZYWOLINIOWY ORTOGONALNY
W układzie tym opisujemy:
• kształt przekroju poprzecznego,
• wszystkie geometryczne charakterystyki przekroju poprzecznego,
• siły przekrojowe,
• gęstości sił wewnętrznych oraz, z reguły, wszystkie wielkości kinematyczne
związane z deformacją pręta wywołaną przyłożonymi siłami.
Zanim wykonamy powyższe czynności najpierw musimy zdefiniować układ
lokalny i zapisać go w układzie globalnym. Osie układu lokalnego
przyporządkowanego każdemu punktowi osi pręta (rys. 2.1) oznaczamy przez
lub
x, y, z.
Pierwsza oś jest styczna do osi pręta i wyznacza ją wersor:
, ,
3
a
e
x
=
,
a
e
x

X
&
(
t
)
,
Y
&
(
t
)
,
Z
(
t
)



X
&
2
(
t
)
+
Y
&
2
(
t
)
+
Z
2
(
t
)
X
2
(
t
)
+
Y
&
2
(
t
)
+
Z
2
(
t
)
X
2
(
)
+
Y
2
(
)
+
Z
2
(
)


(2.2).
Jeśli parametr jest naturalny
, wówczas:
e
x
[
X
&
(
s
),
Y
&
(
s
),
Z
&
(
s
)].
1
Bardzo wygodne jest, jeśli uda się przyjąć tzw.
naturalny parametr t = s
, to jest taki,
którego wartość definiująca położenie punktu na osi jest długością linii od początku osi
pręta do punktu bieżącego. Parametr taki nazywamy także
współrzędną łukową.
t
=
dobierać ędziemy tak, aby współrzędne
określały wybrany (jeden z dwóch) krańcowy punkt osi pręta.
Nazwiemy go
początkiem pręta
xx x
12
&


&
&
&
&
t
&
t
&
t
34
e
jest zawsze zgodny ze zwrotem łuku
zdefiniowanego równaniem łuku i dodatnim przyrostem parametru.
Osie,
y
i
z
leżą oczywiście w płaszczyźnie przekroju poprzecznego i są osiami
głównymi centralnymi tego przekroju. Z reguły literą
y
oznaczamy oś względem,
której moment bezwładności przekroju poprzecznego jest maksymalny, zaś przez
z
−
oś względem, której moment bezwładności jest najmniejszy. Zwroty osi
wyznacza prawoskrętność układu (
x, y, z
). Tak zdefiniowane osie nazywamy
głównymi,
a układ ich wersorów –
reperem głównym.
O ile określenie, w układzie globalnym, wersora osi
x
,
jak pokazaliśmy powyżej,
nie sprawia żadnego kłopotu, o tyle powstaje pewien problem, jak zapisać wersory
osi
y
i
z.
Poszczególne przekroje poprzeczne bowiem mogą być różnie usytuowane
w przestrzeni, co oznacza, że różnie zapisywane będą ich osie główne centralne w
układzie globalnym.
Oczywiście nie ma problemu w przypadku przekrojów, dla których każde dwie
prostopadłe do siebie osie są głównymi. W tym bowiem przypadku każda oś, byle
prostopadła do os
i
x
może być przyjęta jako np. oś
y.
P
S
(
Z
)
P
M
(
Z
)
II
II
A
x
3
X
O
3
A
r
i
A
s
II
Q
I
P
x
x
2
X
2
t
t
0
t=a
X
1
Rys. 2.1
W innych przypadkach zadanie jest nieco trudniejsze i chociaż nie ze względu na
trud, ale z uwagi na małą przydatność praktyczną, nie będziemy się zajmowali
problemem, kiedy oś pręta jest dowolną krzywą przestrzenną a przekrój
poprzeczny – dowolny.
Tak, więc w dalszym ciągu zajmować się będziemy tylko:
• prętami krzywymi, których oś leży w jednej z płaszczyzn układu
globalnego (krzywa płaska), w której leży również jedna z osi głównych
centralnych przekroju poprzecznego (z reguły
z
;
I
min
e
−
wyznaczamy ze wzoru (2.2),
e
= , a
z
Y
e
otrzymujemy z warunku
ortonormalności.
Zwrot tak obliczonego wersora
x
I
z
= ).
• prętami prostymi dowolnie zorientowanymi w układzie globalnym.
W pierwszym przypadku wyznaczenie układu lokalnego jest natychmiastowe.
x
y
e
35
Zanim pokażemy tok postępowania w drugim przypadku (w przestrzeni 3D),
zwróćmy uwagę (rys. 2.2), że osie
y,z
układu lokalnego, z różnych przyczyn
(konstrukcyjnych, montażowych, architektonicznych) mogą być różnie usytuowane
względem układu globalnego
Z=X
3
z=x
3
x=x
1
y=x
2
z=x
3
e
3
g
3
y=x
2
e
2
Y
=X
2
g
1
O
g
2
X=X
1
Rys. 2.2
Tok postępowania przy określeniu układu osi głównych centralnych przekroju
poprzecznego w układzie globalnym (
X,Y,Z
) z reguły przebiega w dwóch etapach.
Podział na dwa etapy
wynika przede wszystkim z
faktu, że w większości
przypadków inżynierskich
konstrukcji prętowych
dominującym jest obciążenie
pionowe i wówczas proces
obliczeniowy kończy się na
pierwszym etapie. W tym
etapie przekrój poprzeczny
orientujemy tak, aby lokalna
oś z, względem, której
moment bezwładności
przekroju jest minimalny,
oraz oś pręta x leżały w
płaszczyźnie prostopadłej do płaszczyzny
XY
(rys. 2.2).
z=x
3
x=x x’
1
=
z’=x’
3
y’=x’
e
3
e
1
e
’
β
y=x
2
e’
3
e
2
Z=X
3
g
1
g
3
Y=X
2
g
2
X=X
1
Rys.2.2a
[ Pobierz całość w formacie PDF ]

Rozdzial-2, Studia zaoczne PWR, semestr 5, Podstawy Statyki, Przemieszczenia wirtualne (mroofczak)

Tematy