Rut-10 Pasmowa, WAT, I sem. Energetyka, Fizyka

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Slajd 1
Struktura pasmowa ciał stałych
opis struktury elektronowej
pasma energetyczne
masa efektywna elektronu i dziury
Slajd 2
Co to jest teoria pasmowa
Teoria pasmowa jest kwantowo-mechanicznym opisem
zachowania elektronów w krystalicznym ciele stałym.
Nazwa teoria pasmowa pochodzi od
najważniejszej cechy widma
energetycznego w krysztale:
w przeciwieństwie do dyskretnych
poziomów dla izolowanych atomów,
widmo energetyczne kryształu
charakteryzują
pasma
energii
dozwolonych o skończonej szerokości
S
lajd 3
Wady modelu elektronów
swobodnych
∞
∞
E
przyjęcie stałego potencjału
w modelu elektronów swobodnych
nie uwzględnia dyskretnej struktury
krystalicznej ciał stałych
istotny wpływ na zachowanie
elektronów odgrywa ich
oddziaływanie z jonami sieci
brak również uwzględnienia
oddziaływania elektronów pomiędzy sobą
oba typy oddziaływań można rozdzielić stosując
różne rodzaje przybliżeń: jednoelektronowe,
elektronów prawie swobodnych lub silnie związanych
0
x
Slajd 4
Opis struktury elektronowej
Kryształ stanowi układ cząstek lekkich (elektronów) i ciężkich
(jąder) opisanych funkcją falową Ψ=Ψ(r
1
, r
2
, ...r
i
, R
1
, R
2
, ...R
j
)
Ψ=Ψ
e
Ψ
j
przybliżenie adiabatyczne
- pozwala rozdzielić ruch
elektronów i jąder sztywno związanych z węzłami sieci
przybliżenie jednoelektronowe
- elektron porusza się w
wypadkowym (samouzgodnionym) polu pozostałych
elektronów (rozpatrujemy elektrony jako cząstki
nieoddziaływujące)
uwzględnienie
periodycznego pola potencjału
sieci
krystalicznej – wszystkie lokalne właściwości kryształu
muszą być okresowe z okresem stałej sieci (pozwala to
ograniczyć rozwiązanie do obszaru I strefy Brillouina)
Ψ
e
(r
1
, r
2
, ...r
i
) = Ψ(r
1
) Ψ(r
2
) ··Ψ(r
i
)
Slajd 5
Równanie Schrodingera
Podstawą teorii pasmowej jest założenie, że oddziaływania
elektronów w ciele stałym można opisać przy pomocy
periodycznego
potencjału
U
(
r
), który nie zmienia się w wyniku
przesunięcia o wektor sieciowy
R
=
n
1
a
+
n
2
b
+
n
3
c
U
(
r
+
R
)=
U
(
r
)
Przyjęcie wspólnego potencjału
U
(
r
) umożliwia opis stanów
elektronowych przy pomocy jednoelektronowych funkcji
falowych. Postać funkcji falowych Ψiwartości własne energii
E
uzyskuje się z rozwiązania równanie Schrödingera, które w
przypadku jednowymiarowym
ma znaną nam postać
2
d
2
m
Ψ
(
()
)
U
(
x
+
a
)=
U
(
x
)
E
U
x
0
+
−
Ψ
=
2
dx
h
2
Slajd 6
Funkcja Blocha
Z okresowości potencjału wynika wynika okresowość
prawdopodobieństwa znalezienia się elektronu w danym punkcie
() ( )
()
2
(
)
2
U
x
U
x
a
x
x
a
=
+
⇒
Ψ
=
Ψ
+
wynika stąd, że funkcje te różnią się czynnikiem o module równym 1
( )
ika
(
)
x
a
x
e
np. funkcję Ψ(x) można zapisać w postaci:
Ψ
+
=
Ψ
() ( )
() ()
ikx
k
gdzie
u
x
=
u
x
+
a
funkcja okresowa o okresie a
x
=
u
x
e
Ψ
k
k
Dowód:
(
)
(
)
ik
x
a
ikx
ika
()
ika
)
(
+
()
x
a
u
x
a
e
u
x
e
e
x
e
Ψ
+
=
+
=
⋅
=
Ψ
k
k
Slajd 7
Twierdzenie Blocha
Funkcje falowe będące rozwiązaniem równania Schrödingera z
potencjałem periodycznym U(x) są iloczynem zespolonej fali płaskiej
e
ikx
i funkcji periodycznej u
k
(x)
()
ikx
nazywamy funkcjami Blocha
Ψ
x
=
u
e
k
k
Postać funkcji u
k
(x) zależy od funkcji U(x) i dla każdej wartości
wektora k ma ona inny kształt – stąd wskaźnik k przy symbolu
Fala płaska odzwierciedla pewną swobodę poruszania się
elektronu w krysztale, a czynnik okresowy spowodowany jest
oddziaływaniem elektronów z atomami sieci
Slajd 8
Periodyczny charakter potencjału U(x) i funkcji u (x)
k
U(x)
Ψ
k
(x)
u
k
(x)
exp(ikx)
nie mylić funkcji periodycznej u
k
(x) z potencjałem U(x) – jest ona
zbiorem funkcji zależnych od wektora falowego k
S
lajd 9
Własności funkcji Blocha
()
ikx
x
=
u
k
e
Ψ
okresowy charakter funkcji Blocha jest konsekwencją
dyskretnej symetrii translacyjnej potencjału U(x)
funkcje Blocha są zdelokalizowane, prawdopodobieństwo
znalezienia się elektronu w każdej komórce elementarnej
jest takie samo
funkcja Blocha w analogii do funkcji falowej elektronu
swobodnego Ae
ikx
, reprezentuje elektron biegnący przez
kryształ bez rozpraszania - opór idealnego kryształu = 0
elektron rozprasza się na potencjale pojedynczego atomu,
natomiast periodyczny zbiór tych potencjałów elektronu
nie rozprasza - paradoks mechaniki kwantowej
Slajd 10
Własności wektora
k
rzeczywisty wektor falowy k jest wskaźnikiem
funkcji u
k
i Ψ
k
, pełni rolę liczby kwantowej
funkcja Blocha jest również okresowa w
przestrzeni wektora k
Ψ
k
(x) = Ψ
k + g
(x) ⇒ E(k) = E(k+g)
okresem jest wektor sieci odwrotnej, więc
wszelkie rozważania możemy ograniczyć do
pojedynczej komórki prymitywnej sieci odwrotnej
tzw. sfery Brillouina
k
x
0
-π/a
π/a
Slajd 11
Konstrukcja strefy Brillouina
Podobieństwo do kuli Fermiego
elektronów swobodnych
W przestrzeni dwuwymiarowej,
Dla sieci kubicznej
sieć ukośnokątna
powierzchniowo centrowanej
Slajd 12
Elektron w krysztale jako
kwazicząstka
elektron jak i fonon należą do kategorii kwazicząstek czyli
skwantowanych obiektów, których dynamika uwarunkowana
jest istnieniem sieci krystalicznej
iloczyn
?k
nie jest pędem, lecz wektorem kwazipędu elektronu
(quasi-pęd, pseudopęd) który spełnia prawo zachowania
kwazipędu
'
'
∑
h
k
+
∑
p
=
∑
h
k
+
∑
p
+
h
g
i
i
i
i
suma pędów i kwazipędów przed zderzeniem jest równa ich
sumie po zderzeniu plus dowolny wektor sieci odwrotnej
wynika to z równości funkcji Blocha dla
k
oraz
k + g
kwazicząstki mogą mieć zerową (fonon) lub skończoną
(elektron) masę
Slajd 13
Metody wyznaczania struktury
elektronowej
Model elektronów swobodnych - najprostszy
model, słuszny dla niektórych metali
funkcja modulująca u(x) stała
Model elektronów prawie swobodnych - dla
elektronów walencyjnych
funkcja modulująca u(x) periodyczna o okresowości sieci
Przybliżenie elektronów silnie związanych - dla
elektronów z wewnętrznych powłok
funkcja modulująca u(x) zbliżona do funkcji falowej
atomu
Slajd 14
Model elektronów swobodnych
Jedyne ograniczenie ruchu elektronów swobodnych jest spowodowane
przez powierzchnię kryształu. Z równania Schrodingera wynika, że
zależność energii od wektora falowego jest quasi-ciągłą funkcją
paraboliczną
2
2
k
h
ikx
E
=
()
x
=
Ae
Ψ
2
m
E(k)
Elektron praktycznie może przyjmować
dowolne wartości energii, jedynie
obsadzanie stanów energetycznych
odbywa się zgodnie z zakazem Pauliego
π/a
k
S
lajd 15
Przybliżenie elektronów prawie
swobodnych
Zakładamy, że potencjał U(r) działający na elektrony poruszające się w
krysztale jest tak mały, że można potraktować go jako małe zaburzenie
Z rozwiązania równania Schrodingera wynika, że energia
elektronów o wektorach falowych leżących na granicy strefy
Brillouina może przybierać dwie wartości różniące się o 2V
g
–
prowadzi to do powstania nieciągłości energii
2
2
k
h
E(k)
E
=
±
V
m
2
Osobliwość ta jest wynikiem odbicia
Bragga elektronów o wektorze falowym
k od płaszczyzny prostopadłej do
wektora sieci odwrotnej g = π/a
2V
g
π/a
k
[ Pobierz całość w formacie PDF ]

Rut-10 Pasmowa, WAT, I sem. Energetyka, Fizyka

Tematy