Rut-3 Drgania Fale, WAT, I sem. Energetyka, Fizyka

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Slajd 1
RUCH DRGAJĄCY
Swobodne drgania
harmoniczne
Drgania tłumione
Slajd 2
Podstawowe definicje
drgania
– procesy, w których dana wielkość fizyczna na
przemian rośnie i maleje
drgania
swobodne
– gdy układ, na który nie działają
zmienne siły zewnętrzne, zostanie wyprowadzony z
położeni
okresowy
ruch drgający (periodyczny) – jeżeli wartości
wielkości fizycznych zmieniające się podczas drgań,
ą się w pewnych odstępach czasu
drgania
harmoniczne
– drgania opisane funkcją
harmoniczną (sin
ω
t
lub cos
ω
t
)
oscylator harmoniczny
–układ wykonujący drgania
harmoniczne np. wahadło, obwód LC
a równowagi
powtarzaj
S
lajd 3
Swobodny oscylator harmoniczny
częstość
kątowa
faza
początkowa
wychylenie z
położenia
równowagi
s
(
t
)
=
A
sin(
ω
o
t
+
ϕ
)
definicja okresu drgań
amplituda -
maksymalne
wychylenie
faza drgań
ω
(
t
+
T
o
)
+
ϕ
=
(
ω
o
t
+
ϕ
+
2
π
2
T
=
-czas 1 drgania
ω
o
s(t)
s
0
)
=
A
sin(
ϕ
)
t
n
=
- liczba drgań w czasie t
T
s
(
0)
n
t
1
A
ν
=
=
=
(1Hz)
t
T
o
T
t
o
0
t
częstotliwość (częstość) drgań –
liczba drgań w jednostce czasu
π
T
o
=2
π
/
ω
o
częstotliwość kołowa -
ω
o
=
2
)
o
(
Slajd 4
Równanie różniczkowe drgań
harmonicznych
s
(
t
)
=
A
sin(
ω
o
t
+
ϕ
)
ds
=
A
ω
cos(
ω
t
+
ϕ
)
=
A
ω
sin

ω
t
+
ϕ
+
π

różnica faz
π
/2
dt
o
o
o
o
2
d
2
s
(
)
=
−
A
ω
2
sin(
ω
t
+
ϕ
)
=
A
ω
2
sin
ω
t
+
ϕ
+
π
różnica faz
π
dt
2
o
o
o
o
d
2
s
+
s
ω
2
=
0
- równanie drgań
Metoda wykresów fazowych
dt
2
o
y
Opis przy pomocy liczb zespolonych
ω
o
z
=
Ae
i
o
( )
ω
t
+
ϕ
A
z
=
A
[
cos(
ω
o
t
+
ϕ
)
−
i
sin(
ω
o
t
+
ϕ
)
ω
o
t+
ϕ
s
=
Re
z
=
A
cos(
ω
o
t
+
ϕ
)
s(t)
x
Slajd 5
Przykład 1:
Mechaniczne drgania harmoniczne
Wahadło sprężynowe
x
k – stała sprężystości
x
o
-położenie równowagi
F
=
−
k
( )
o
x
−
x
r
r
F
−
=
k
x
F
=
−
k
x
x
o
=
0
r
r
d
2
x
F
=
−
k
x
m
=
−
k
x
2
d
t
d
2
x
k
d
2
s
k
+
x
m
=
0
+
s
ω
2
=
0
ω
o
=
dt
2
dt
2
o
m
x
=
A
cos(
ϕ
ω
o
t
+
)
v
=
dx
=
−
A
ω
sin(
ϕ
ω
t
+
)
stałe A,
ϕ
wyznaczamy z warunków
początkowych np.
t
dt
o
o
x
(
=
)
0
=
0
a
=
dv
=
−
A
ω
2
cos(
ϕ
ω
t
+
)
v
(
0
t
=
)
=
v
o
dt
o
o
Slajd 6
Energia oscylatora harmonicznego
Energia kinetyczna
mv
2
m
E
=
=
A
2
ω
2
sin
2
(
ω
t
+
ϕ
)
k
2
2
o
o
Energia potencjalna
x
x
kx
2
k
U
=
−
F
dx
=
kx
dx
=
=
A
2
cos
2
(
ω
t
+
ϕ
)
∫
∫
o
2
2
0
0
Energia całkowita
E
U
E
k
kA
2
m
ω
2
E
=
E
+
U
=
=
o
A
2
E=E
k
+U
k
2
2
E/2
t


Slajd 7
Przykład 2:
Elektryczne drgania harmoniczne
dI
L
=
Q
d
L
=
2
Q
Q
SEM
=
U
−
−
dt
C
dt
2
C
d
2
Q
1
1
+
Q
LC
=
0
Q
=
Q
o
cos
( )
ω
t
+
ϕ
ω
=
dt
2
o
o
LC
I
=
dQ
/
dt
=
−
ω
Q
sin
( )
ω
t
+
ϕ
=
I
cos

ω
0
t
+
ϕ
+
π

o
o
o
o
2
t
=
1
4
T
t
=
1
2
T
t
=
3
4
T
W
=
C
Q
2
WQ
=
1
2
2
W
=
1
2
C
Q
2
WQ
=
1
2
2
2
Slajd 8
Drgania tłumione
siły oporu
F
t
−
=
r
v
d
2
s
ds
d
2
s
r
ds
k
m
=
−
ks
−
r
+
+
s
=
0
dt
2
dt
dt
2
m
dt
m
d
2
s
ds
t
()
Równanie drgań tłumionych:
+
2
β
+
ω
2
s
=
0
s
=
e
−
β
u
t
o
2
dt
dt
d
2
u
( )
0
Dla silnego tłumienia
( )
β
2
≥
ω
2
2
2
u
+
ω
−
β
=
o
o
dt
2
( )
t
−
β
−
ω
2
−
β
+
β
2
ω
−
2
u
o
=
A
e
o
s
=
A
e
o
ruch aperiodyczny
o
Dla słabego tłumienia
( )
β
2
<
ω
2
s
oznaczamy:
ω
o
2
=
( )
ω
2
−
β
2
A
o
u
o
cos
=
A
( )
t
+
ϕ
s
=
A
o
e
−
t
β
cos(
ϕ
ω
t
+
)
0
t
S
lajd 9
Analiza drgań tłumionych
s
=
A
o
e
−
t
β
cos(
ϕ
ω
t
+
)
amplituda malejąca
wykładniczo w czasie
ω
o
częstość drgań tłumionych
2
=
ω
2
−
β
T
>
ω
=
2
π
T
s, A
logarytmiczny dekrement tłumienia
t
A
A
e
−
β
t
A
=
A
o
e
−
β
Λ
=
ln
n
=
ln
o
=
ln
e
β
T
=
β
⋅
T
( )
A
−
β
t
+
T
A
e
n
+
1
o
A
o
A
1
A
2
czas relaksacji
τ
=
1
2
β
t
A
A
o
e
−
β
t
Q
≈
ω
2
o
T
=
−
współczynnik dobroci
β


1
2
o
ω
Slajd 10
Fizyczny sens parametrów
oscylatora tłumionego
logarytmiczny dekrement tłumienia
charakteryzuje
szybkość zmniejszania się amplitudy
Λ
=
ln
A
n
n
=
β
⋅
T
A
+
1
czas relaksacji
τ
to okres po którym energia oscylatora
maleje e-krotnie
E
(
t
)
A
2
e
−
2
β
t
1
≈
o
=
e
τ
=
E
(
t
+
τ
)
2
−
2
β
(
t
+
τ
)
2
β
A
e
o
dobroć układu
to stosunek energii zmagazynowanej w
oscylatorze do energii traconej podczas jednego okresu
drgań (słabsze tłumienie – większa dobroć)
dE
=
A
2
( )
t
−
2
β
e
−
2
β
E
E
ω
ω
o
o
Q
=
2
π
=
2
π
=
≈
=
ω
dt
o
dE
2
β
ET
2
β
2
β
T
szybkość zmian energii
dt
Slajd 11
Swobodne tłumione drgania
ładunku w obwodzie RLC
V
C
IR
IR
c
=
+
V
SEM
C
R
I
L
dI
+
IR
+
Q
=
0
dt
C
L
d
2
Q
R
dQ
1
SEM
+
+
Q
=
0
dt
2
L
dt
LC
d
2
Q
dQ
R
2
1
+
2
β
+
ω
2
Q
=
0
gdzie
ω
=
β
=
o
dt
2
dt
o
L
LC
( )
1
R
2
Q
=
Q
o
e
−
β
t
cos
ω
t
+
ϕ
ω
=
LC
−
L
2
4
τ
=
1
=
L
Q
o
=
≈
ω
τ
1
L
Λ
≈
β
⋅
T
o
π
=
R
C
2
β
R
R
C
L
Slajd 12
Porównanie parametrów drgań
mechanicznych i elektrycznych
Parametr
Wahadło
sprężynowe
Układ RLC
s
x
Q
ω
o
k
1
m
LC
r
R
2
β
2
m
L
Q
1
k
m
1
L
r
R
C
R
⇔
r
L
⇔
m
C
⇔
1/k
Slajd 13
Drgania wymuszone
Rezonans
Składanie drgań
Dudnienia
Prąd zmienny
Slajd 14
Drgania wymuszone
aby utrzymać drgania nietłumione należy
skompensować straty energii
siła wymuszająca lub siła elektromotoryczna
t
F
=
F
cos
ω
V
=
V
cos
ω
t
d
2
x
dx
m
=
−
kx
−
r
+
F
cos
ω
t
równanie ruchu
dt
2
dt
d
2
x
dx
F
+
2
β
+
ω
2
x
=
o
cos
ω
t
dt
2
dt
o
m
d
2
s
ds
+
2
β
+
ω
o
x
s
=
cos
ω
t
równanie drgań wymuszonych
dt
2
dt
o
d
2
z
dz
równanie drgań wymuszonych
w postaci zespolonej
+
2
β
+
ω
2
z
=
x
e
i
ω
t
2
dt
o
o
dt
S
lajd 15
Rozwiązanie równania drgań
wymuszonych
d
2
z
dz
+
2
β
+
ω
2
z
=
x
e
ω
t
dt
2
dt
o
o
Rozwiązania tego równania szuka się w postaci:
z
=
z
o
e
i
Ω
t
2
równania musi być spełnione dla każdej chwili czasu więc
Ω
=
ω
−
Ω
2
z
e
Ω
t
+
β
i
Ω
z
e
i
Ω
t
+
ω
2
z
e
i
Ω
t
=
x
e
ω
t
o
o
o
o
o
( )
( ) ( )
x
o
x
o
ω
o
2
−
ω
2
−
2
βω
x
o
z
=
=
+
i
o
( )
2
2
2
2
i
2
2
2
2
2
2
2
2
ω
−
ω
+
2
βω
ω
−
ω
+
4
β
ω
ω
−
ω
+
4
β
ω
o
o
o
z
o
=
z
o
⋅
e
i
ϕ
=
z
o
(
cos
ϕ
+
i
sin
ϕ
)
i
=
a
+
b
⋅
A
=
z
=
a
2
+
b
2
=
x
o
tg
ϕ
=
−
2
βω
o
( )
2
2
2
2
ω
−
ω
2
2
2
ω
−
ω
+
4 ω
β
o
o
z
=
z
⋅
e
ϕ
⋅
e
i
ω
t
=
z
⋅
e
i
( )
ϕ
ω
t
+
s
=
Re
z
=
z
o
cos
⋅
( )
ω
t
+
ϕ
o
o
2
i
i
i
i
[ Pobierz całość w formacie PDF ]

Rut-3 Drgania Fale, WAT, I sem. Energetyka, Fizyka

Tematy