Rut-7 Atom, WAT, I sem. Energetyka, Fizyka

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Slajd 1
Atom wodoru
postulaty Bohra
orbitalny moment pędu
równanie Schrodingera
Slajd 2
Budowa atomu wodoru
atom wodoru składa się z pojedynczego elektronu (-e)
związanego z jądrem – protonem (+e) przyciągającą
siła elektrostatyczną
rozmiary jądra – 10
-14
m
rozmiary atomu rzędu 10
-10
m
masa protonu = 1836 masy elektronu swobodnego
klasycznie energia elektronu przyjmuje dowolne
wartości – w rzeczywistości jest skwantowana
przy ruchu po orbicie elektron powinien tracić energię
przez promieniowanie i poruszając się po spirali spaść
na jądro – w rzeczywistości energia się nie zmienia
eksperyment Rutherforda
rok 1911
Slajd 3
Model Bohra
1913r. – 13 lat przed sformułowaniem
równania Schrodingera
elektrony poruszają się w atomach nie
promieniując energii, po takich orbitach
kołowych, że moment pędu elektronu jest równy
całkowitej wielokrotności stałej
h
mvr
=
n
n = 1, 2, 3..
przejścia elektronu z orbity o energii E
n
na orbitę,
gdzie energia wynosi E
m
, towarzyszy emisja lub
absorpcja fotonu o częstości określonej wzorem
E
n
−
h
E
m
=
ν
Slajd 4
z równowagi sił i postulatu Bohra:
promień Bohra
mv
2
e
2
4
πε
h
2
F
=
=
=
F
r
n
=
0
n
2
=
r
n
2
od
el
0
r
2
4
πε
r
me
2
o
r
=
πε
h
2
me
2
=
5
,
29
10
−
11
m
mvr
=
n
o
o
mv
2
e
2
K
=
=
r
2
8
πε
o
e
2
e
2
e
2
E
=
K
+
U
=
−
=
−
r
r
r
8
πε
4
πε
8
πε
o
o
o
me
4
1
1
E
=
−
=
−
13
59
eV
n
2
2
2
2
2
n
n
32
π
ε
o
h
E
n
=
−
E
o
1
n
2
kwantyzacja energii
Slajd 5
Widmo atomu wodoru
wzbudzenie atomu – przejście elektronu na wyższy poziom
energetyczny
po czasie 10
-8
s samorzutny powrót do stanu o niższej energii i
emisja fotonu o długości λ
1
ν
E
−
E
1
1
=
=
n
m
=
R


−


R
–stała Rydberga
λ
c
hc
m
2
n
2
jonizacja atomu – przejście elektronu na najwyższy poziom
energetyczny o zerowej energii (elektron swobodny)
(energia jonizacji = E
0
)
me
4
R
=
3
2
3
64
h
π
ε
c
o
Slajd 6
Serie widmowe
seria Lymana
seria Balmera
seria Paschena
seria Bracketta
seria Pfunda
BohrModel.swf
4
⋅
.


Slajd 7
Sprzeczności z prawami fizyki
klasycznej
niezrozumiały postulat o dyskretnych
wartościach momentu pędu elektronu
brak emisji energii promieniowania przy
ruchu elektronu po orbicie
nie opadanie elektronów na jądro atomu
trudności przy opisie atomów
wieloeletronowych
Slajd 8
Równanie Schrodingera dla
atomu wodoru
atom wodoru jest swego rodzaju studnią potencjału
(naturalną pułapką) dla elektronu
energia potencjalna oddziaływania elektron-jądro jest
postaci
U
()
r
=
−
e
2
U[eV]
4
πε
r
r[Å]
4
2
0
2
4
r[Å]
o
potencjał ma symetrię sferyczną
więc musimy wprowadzić
sferyczny układ współrzędnych
-10
stan
podstawowy
x
=
r
sin
ϑ
cos
ϕ
-30
y
=
r
sin
ϑ
sin
ϕ
z
=
r
cos
ϑ
Slajd 9
Równanie Schrodingera dla
przypadku trójwymiarowego i
we współrzędnych sferycznych
∂
2
Ψ
∂
2
Ψ
∂
2
Ψ
2
h
m
+
+
=
−
( )
Ψ
−
U
∂
x
2
∂
y
2
∂
z
2
2
1
∂

2
∂

1

1
∂

∂

1
∂
2
Ψ

2
m

e
2

r
sin


E




+


ϑ

+

=
−
+
Ψ
2
r
r
2
sin
2
2
2
r
r
∂
∂
r

ϑ
∂ϑ
∂ϑ
sin
ϑ
∂ϕ

h
4
πε
o
Ψ
,
( )
r
,
ϑ
ϕ
Ψ
( ) ( ) ( ) ( )
,
ϑ
ϕ
=
R
r
Θ
ϑ
Φ
ϕ
podstawiając tą funkcję do równania Schrodingera otrzymujemy
trzy równania z których każde opisuje zachowanie się funkcji falowej
w zależności od r, ϑ, ϕ - równanie radialne, biegunowe i azymutalne
Rozpatrzmy najprostszy przypadek, gdy Ψ jest tylko funkcją r
tzn. żaden kierunek w przestrzeni nie jest wyróżniony – stan
s
1
d
 Ψ
2
d

2
m

e
2

Funkcja spełniająca to równanie to:

r

+


E
+


Ψ
=
0
2
dr
dr
2
4
πε
r
r
h
o
()
−
r
/
r
Ψ
r
=
Ψ
o
e
E
r
,
Slajd 10
Kiedy funkcja
spełnia równanie Schrodingera
Ψ
()
r
=
Ψ
o
e
−
r
/
r

2

d
d
d
r

Ψ
⋅

−
r
r
2




r
e


=
−
Ψ
o
=
dr
dr
dr
r
o
d
Ψ
=
Ψ
o
e
r
−
1
−
r
/
r
2
r
r
2
−
1
−
r
/
r
−
r
/
r
dr
=
−
Ψ
e
−
Ψ
e
o
o
o
r
r
r
o
o
o

1
2
2
m
me
2
1

−
r
r
/


E


e
−
+
+
Ψ
=
0
2
r
r
2
2
r
o
r
h
2
πε
h
o
o
o


me
2
−
2


1
+
1
+
2
m
E
=
0
równanie to musi być prawdziwe
dla dowolnego r
Funkcja Ψ jest rozwiązaniem
gdy
r
o
i
E
są równe:
2
r
r
2
2
h
r
h
2
πε
o
o
o
−
2
+
me
2
=
0
1
+
h
2
mE
=
0
r
2
2
2
h
r
o
o
2
πε
o
h
2
me
4
4
πε
h
2
E
=
=
−
=
−
13
.
59
eV
r
=
o
=
5
.
29
×
10
−
11
m
2
o
2
2
2
mr
32
π
ε
h
o
2
o
me
Slajd 11
Fizyczna interpretacja
Prawdopodobieństwo znalezienia elektronu w
elemencie objętości
dV
=
4π
r
2
dr
P
dV
=
Ψ
2
()
r
4
π
r
2
dr
=
4
π
r
2
e
−
/
2
r
r
Ψ
2
dr
osiąga maksimum dla r = r
o
o
wyrażenia na r
o
i E są identyczne jak w modelu Bohra
kwantyzacja wynikiem rozwiązania równania Schrodingera, a
nie postulatem jak u Bohra
r
o
to nie promień orbity, lecz odległość od jądra przy której
prawdopodobieństwo znalezienia się elektronu jest największe
przyjęcie klasycznej orbity traci sens
dla rozpatrywanego stanu s moment pędu jest równy zeru
w ogólności moment pędu nie jest równy lecz
n
h
L
=
l
l
( )
h
+
1
Slajd 12
Dokładne rozwiązanie równania
Schrodingera
rozwiązaniem równania biegunowego jest funkcja postaci
Φ
()
ϕ
=
Φ
o
e
im
l
ϕ
m
l
=0,
±
1,
±
2..,
±
l
rozwiązaniem równania azymutalnego są tzw. wielomiany Legendre’a
() ( )
ϑ
=
P
m
l
cos
ϑ
np
.
P
0
=
1
P
;
1
=
cos
()
ϑ
l
l – całkowita liczba dodatnia
rozwiązanie równania radialnego istnieje jeśli energia elektronu
przyjmuje ściśle określone wielkości
me
4
1
()
E
=
−
⋅
R
l
r
n – całkowita liczba dodatnia
n
n
,
32
π
2
ε
2
h
2
n
2
o


Θ
Slajd 13
Orbitalny moment pędu elektronu
z rozwiązania równania kątowego wynika, że wartość
L
orbitalnego momentu pędu elektronu w atomie jest
skwantowana
L
=
l
l
( )
h
+
1
l
= 0, 1, 2
liczba całkowita
l
to orbitalna liczba kwantowa
rzut momentu pędu na wyróżniony kierunek (z) jest
również skwantowany
L
=
z
m
h
m
l
≤
m
l
=0,
±
1,
±
2..,
±
l
l
liczba
m
l
to magnetyczna liczba kwantowa
wektora
L
nie można w żaden sposób zmierzyć, możemy
jedynie zmierzyć składową tego wektora wzdłuż danej osi
np. określonej przez pole magnetyczne
Slajd 14
Falowa interpretacja kwantyzacji
momentu pędu elektronu
elektron porusza się po orbicie kołowej
L
z
=
r
p
h
=
r
k
r
L
z
r
p
droga przebyta przez elektron
więc jego funkcja falowa jest postaci
s
=
d
r
ϕ
r
r
Ψ
()
=
Ψ
o
e
Ψ
iks
=
o
e
ikr
ϕ
z jednoznaczności funkcji falowej
z
L
=
l
l
( )
h
+
1
Ψ
() ( )
ϕ
=
Ψ
ϕ
+
2
π
e
ikr
2
=
π
1
Ψ
e
ikr
ϕ
=
Ψ
e
ikr
(
π
ϕ
+
2
)
kr
=
m
=
6
h
o
o
otrzymujemy warunek kwantyzacji L
z
L
=
z
m
l
h
m
l
≤
l
m
l
=0,
±
1,
±
2..,
±
l
długość orbity równa całkowitej wielokrotności λ,
fale nie wygaszają się – orbita dozwolona
λ 2
m
l
π
=
r
Slajd 15
Pułapki elektronowe
studnia
potencjału
oscylator harmoniczny
atom wodoru
E
3
∞
∞
E
6
E
o
E
2
E
5
E
4
E
1
stan podstawowy
E
3
0
L
E
2
E
1
π
2
h
2

1

me
4
1
E
=
−
⋅
E
n
n
2
E
n
n
=
h
2
−
ω
=


n
kl
2
2
2
2
32
π
ε
h
n
2
mL
2
o
l
ϕ
[ Pobierz całość w formacie PDF ]

Rut-7 Atom, WAT, I sem. Energetyka, Fizyka

Tematy