Rut-8 Statystyka, WAT, I sem. Energetyka, Fizyka

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Slajd 1
Elementy fizyki statystycznej
Termodynamika
Gęstości stanów
Funkcje rozkładu
Slajd 2
T [K]
Termodynamika
10
39
wszechświat tuż
po powstaniu
najwyższa temp.
uzyskana w lab.
jądro Słońca
Termodynamika to dział fizyki
zajmujący się energią termiczną
(energią wewnętrzną) układu
Temperatura – podstawowe
pojęcie termodynamiki
Skala Kelvina – bezwzględna
skala temperatury
„odczuwanie temperatury” –
zależne od naszych zmysłów
10
8
10
6
10
4
powierzchnia Słońca
krzepnięcie wody
10
2
10
0
wszechświat dziś
wrzenie helu-3
10
-2
10
-9
najniższa uzyskana
temperatura
Slajd 3
Termodynamiczny opis układu
obiekty traktujemy makroskopowo nie wnikając w naturę
cząstek z których się składa
gaz doskonały: cząsteczki gazu traktujemy jako punkty
materialne i zakładamy, że zderzenia z innymi cząstkami i
ściankami naczynia są sprężyste
podstawowe makroskopowe parametry stanu układu to:
ciśnienie p, objętość V i temperatura T
każda zmiana w układzie termodynamicznym (choćby jednego
parametru) nazywa się procesem termodynamicznym
I zasada termodynamiki
:
zmiana energii wewnętrznej układu równa jest sumie ilości
ciepła i pracy wymienionej przez układ z otoczeniem
II zasada termodynamiki
:
w procesach odwracalnych zachodzących w układzie entropia
pozostaje stała, a w nieodwracalnych wzrasta
Slajd 4
Pierwsza zasada
termodynamiki
Energia wewnętrzna układu U wzrasta,
jeżeli układ pobiera energię w postaci
ciepła Q, i maleje, kiedy wykonuje pracę W
U
−
=
Q
W
dla nieznacznej przemiany
dU
−
=
dQ
dW
Rozprężanie swobodne
Q = W = 0
⇒∆
U = 0
Przemiana adiabatyczna
Q = 0
⇒∆
U = -W
W>0 – praca wykonana
przez układ
W<0 – praca wykonana
nad układem
Slajd 5
Przemiany
nieodwracalne
przemiany jednokierunkowe w układzie
zamkniętym nazywamy nieodwracalnymi
o kierunku procesów nieodwracalnych
decyduje zmiana entropii
∆
S układu,
(parametru stanu takiego jak T, p, V)
K
dQ
∆
S
=
S
−
S
=
∫
K
P
T
P
nie ma zasady zachowania entropii, w
przemianach nieodwracalnych entropia
układu zamkniętego zawsze rośnie
przy nieskończenie małej zmianie stanu układu
dS
=
dQ
T
Slajd 6
Przemiana odwracalna
Przy odwracalnym izotermicznym rozprężaniu gazu
doskonałego zmiana entropii zależy od całkowitego
ciepła dostarczonego ze zbiornika do gazu
1
K
Q
∆
S
=
S
−
S
=
∫
dQ
=
K
P
T
T
P
Q>0 – przy rozprężaniu entropia gazu rośnie
∆
gaz
S
>
0
przy sprężaniu Q<0 (gaz oddaje ciepło) – entropia
gazu maleje lecz entropia zbiornika rośnie
∆
S
gaz
−
=
Q
∆
S
zbior
+
=
Q
T
T
zmiana entropii układu zamkniętego (gaz + zbiornik)
jest sumą obydwu wartości i jest równa zeru
∆
S
=
0
∆
Slajd 7
Druga zasada termodynamiki
Entropia układu zamkniętego wzrasta w przemianach
nieodwracalnych i nie zmienia się w przemianach
odwracalnych (entropia nigdy nie maleje)
∆
S
≥
0
ale
dS
=
T
dQ
⇒
dQ
≤
TdS
proces nieodwracalny przebiega w kierunku wzrostu
entropii
wzrost entropii – przejście układu do stanu
mniejszego uporządkowania cząsteczek
(stanu większego chaosu)
z I i II zasady termodynamiki wynika:
dU
=
dQ
−
dW
≤
TdS
−
dW
Slajd 8
Warunki równowagi
termodynamicznej
z II zasady wynika, że w układzie izolowanym mogą przebiegać
tylko procesy w których entropia wzrasta
warunkiem równowagi jest maksimum entropii
funkcja
F= U-TS
nosi nazwę energii swobodnej układu
dU
≤
TdS
−
dW
S
=
S
max
dF
−
=
dU
TdS
dW
≤
−
dF
dW
=
0
⇒
dF
≤
0
dW
TdS
dU
≤
−
we wszystkich procesach samorzutnych energia swobodna
układu maleje, czyli warunkiem równowagi będzie minimum
energii swobodnej
F
=
F
dF
min
=
0
dla procesów odwracalnych energia wewnętrzna układu może
zmieniać się kosztem wymiany ciepła, pracy lub zmiany liczby
cząstek N w układzie (dW = pdV)
dU
=
TdS
−
pdV
+
µ
dN
dF
=
dU
−
TdS
−
SdT
dF
=
−
pdV
−
SdT
+
µ
dN
Slajd 9
dU
=
TdS
−
pdV
+
µ
dN
Potencjał chemiczny
dF
=
−
pdV
−
SdT
+
µ
dN
Dla procesów odwracalnych
µ
=

∂
U

µ
=

∂
F

∂
N
∂
N
S
,
V
T
,
V
Potencjał chemiczny wyraża zmianę energii wewnętrznej układu
przy zmianie liczby jego cząstek o jednostkę w warunkach stałej
entropii i objętości układu lub zmianę energii swobodnej układu
Rozpatrzmy układ dwóch gazów o potencjałach chemicznych
µ
1
i
µ
2
w których przy stałej całkowitej liczbie cząstek następuje wymiana
dNcząstek przy stałej objętości i temperaturze np. dwa metale
kontaktujące ze sobą i znajdujące się w stałej temperaturze
dF
=
dF
1
+
dF
2
=
µ
1
dN
−
µ
2
dN
=
0
µ
1
µ
dN
2
=
dN
Warunkiem równowagi takiego układu jest równość potencjałów
chemicznych obu układów gazów




Slajd 10
Pojęcie gazu doskonałego
gaz składa się z cząsteczek, które możemy traktować
jako punkty materialne o tej samej masie
cząsteczki poruszają się chaotycznie i podlegają
zasadą dynamiki Newtona
całkowita liczba cząstek jest bardzo duża
objętość cząstek gazu jest dużo mniejsza od objętości
naczynia
poza momentem zderzenia cząstki nie oddziaływają
ze sobą żadnymi siłami
zderzenia są sprężyste, a czas ich trwania krótki
Slajd 11
Kinetyczna teoria gazów 1
Rozpatrzmy N cząstek gazu w pudełku o objętości V. Jedna cząstka
odbijająca się sprężyście od lewej ścianki naczynia wywiera nań siłę:
(
Ponieważ czas pomiędzy kolejnymi zderzeniami z ta samą ścianką wynosi:
F
=
∆
p
x
∆
p
x
=
mv
x
−
−
mv
x
)
=
mv
x
1
t
∆
∆
t
=
2
L
⇒
F
=
mv
x
Dla N cząstek całkowita średnia siła wynosi:
v
1
L
x
L
m
v
x
F
m
v
x
2
y
F
=
N
⇒
p
=
=
N
⇒
pV
=
Nm
v
L
S
V
x
iloczyn pV jest stały jak długo stała jest E
K
cząsteczek
v
x
v
2
=
v
2
+
v
2
+
v
2
=
3
x
v
2
-v
x
x
y
z
bo cząsteczki zderzają się jednakowo ze wszystkimi
ściankami
2
2
x
2
v
v
x
=
v
2
v
2
=
v
2
=
v
2
⇒
pV
=
Nm
=
N
E
k
x
y
z
3
3
3
Slajd 12
v
2
2
pV
=
Nm
=
N
E
k
3
3
Kinetyczna teoria gazów 2
trzy stopnie swobody – trzy współrzędne x,y,z
Zasada ekwipatrycji energii – równomierny podział energii na wszystkie stopnie
swobody cząsteczek (½kT na cząsteczkę)
mierząc temperaturę gazu wyznaczmy jednocześnie śr. energię kinetyczną ruchu
postępowego jego cząsteczek
E
k
=
2
3
kT
⇒
pV
=
NkT
równanie stanu
gazu doskonałego
=
k – stała Boltzmana
n – liczba moli
N – liczba cząsteczek
R – stała gazowa
nR
⇒
pV
=
nRT
Kinetyczna teoria gazów wiąże właściwości
makroskopowe gazu (np. ciśnienie i temp.)
z właściwościami mikroskopowymi
cząsteczek gazu (np. ich prędkością)
przemiany: izotermiczna, izochoryczna, izobaryczna, adiabatyczna
T=const. V=const. p=const. Q=0
2
2
2
2
Nk
Slajd 13
Statystyczny opis układu
makroskopowe właściwości gazów można opisać
odwołując się do zjawisk mikroskopowych
stan każdej cząstki opisujemy przez (x,y,z,p
x
,p
y
,p
z
)
szukamy prawdopodobieństwa zajścia danego
zdarzenia
osobliwością statystycznych prawidłowości jest ich
probabilistyczny charakter
rozkład cząstek w zależności od ich energii opisuje
statystyczna funkcja rozkładu
ze znajomości funkcji rozkładu wyznaczmy wartości
średnie energii, pędu, prędkości cząstek
Slajd 14
Stan III
Mikro- i makro-stany
Rozważmy układ złożony z N = 6 identycznych (ale ponumerowanych)
cząstek w dwóch stanach (np. połówkach zbiornika)
mikrostan
: stan zawierający określone cząstki w komórkach przestrzeni fazowej;
makrostan
: stan zawierający określoną liczbę cząstek w komórkach przestrzeni fazowej
wielokrotność konfiguracji -
W
=
N
!
/(
n
1
n
!
⋅
2
!
=
wzór Boltzmanna
Konfiguracja IV jest
najbardziej prawdopodobna
P
IV
=20/64=31,3%; ale
P
I
=1/64=1,6% ??
Jeśli w zbiorniku będzie 100
cząstek to W(50,50)=10
29
i
W(100,0)=1, tym bardziej
dla mola cząsteczek N=10
24
S
ln
k
W
Konfiguracja
W
liczba mikrostanów
Entropia
(10
-23
J/K)
n
1
n
2
I
6
0
6!/(6!· 0!)=1
0
II
5
1
6!/(5!· 1!)=6
2,47
III
4
2
6!/(4!· 2!)=15
3,74
IV
3
3
6!/(3!· 3!)=20
4,13
V
2
4
6!/(2!· 4!)=15
3,74
7 makrostanów i 64 mikrostany
Slajd 15
Przestrzeń fazowa
przestrzeń fazowa jest to 6N wymiarowa przestrzeń o
osiach współrzędnych x,y,z,p
x
,p
y
,p
z
każdy punkt przestrzeni fazowej jednoznacznie określa
mikrostan cząstki, tzn. podaje jej położenie i pęd
sekwencja mikrostanów, które przyjmował układ w
czasie tworzy pewną krzywą zwaną trajektorią fazową
dla ruchu jednowymiarowego
stan cząstki określa x, p
x
badania trajektorii fazowej
pozwalają znaleźć jego
podstawowe własności
dynamiczne
p
x
t
2
t
1
x
)
[ Pobierz całość w formacie PDF ]

Rut-8 Statystyka, WAT, I sem. Energetyka, Fizyka

Tematy