rownanie, Studia WAT, ♣MATEMATYKA

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Równaniestruny
Dobra Cieciu to b¦dzie tak: równanie
u
xx
=
a
2
u
tt
Zakładamy, »e mamy strun¦ o długo±ci
x
0
rozpi¦t¡ wzdłó» osi
x
od punktu
0 do
x
0
. Nasza szukana funkcja
u
(
x,t
) oznacza wychylenie punktu stru
ny
o
współrz¦dnej
x
w chwili
t
. Ten współczynnik
a
to tak naprawd¦
a
=
q
m
P
gdzie
P
jest nat¦»eniem struny a
m
mas¡ przypadaj¡c¡ na jednostk¦
długo±ci. Przy wyprowadzaniu tego równania zakłada si¦, »e ta struna jest
doskonale gi¦tka i, »e wahania nie zmieniaj¡ napr¦»enia. Dobra to tyle
wst¦pu teraz zadanie:
Zakładamy, »e w chwili
t
= 0 struna pokrywa si¦ z osi¡
x
i, »e cz¡steczki
jej nie maj¡ »adnej pr¦dko±ci, wi¦c tak naprawd¦ zakładamy, »e:
u
(
x,
0) = 0 to oznacza, »e w chwili
t
= 0 struna pokrywa si¦ z osi¡,
u
t
(
x,
0) = 0 to, »e cz¡steczki nie maj¡ pr¦dko±ci (pr¦dko±¢ to pochodna po
czasie w ﬁzyce). I to mamy dla
0
¬
x
¬
x
0
Zakładamy dalej, »e pocz¡tek struny porusza si¦ w kierunku prostopadłym
do osi
x
i ruch ten jest okre±lony funkcj¡
v
(
t
), oraz, »e koniec struny jest
umocowany nieruchomo w punkcie o współrz¦dnej
x
0
(zrobi¦ Ci rysunek,
ale nie chce mi si¦ go tu wkleja¢), to oznacza znowu, »e:
u
(0
,t
) =
v
(
t
)
u
(
x
0
,t
) = 0 0
¬
t
¬1
.
B¦d¦ u»ywał operatora ró»niczkowego
s
(dla dowolnej funkcji ci¡głej f(x)
mamy
sf
(
x
) =
f
0
(
x
) +
f
(0) a
s
2
f
(
x
) =
f
00
(
x
) +
f
0
(0) +
sf
(0) czyli to
branie pochodnej i sumowanie z warto±ci¡ w zerze, powinno to by¢ bo to
popularny sposób rozwi¡zywania równa«).
No to jak mamy te nasze warunki to równanie mo»emy zapisa¢ jako
u
00
(
x
) =
a
2
s
2
u
(
x
) gdzie
u
(
x
) =
u
(
x,t
). No i wtakim razie nasze warunki
maj¡ teraz posta¢:
u
(0) =
v u
(
x
) = 0 gdzie
v
=
v
(
t
).
Szukamy najpierw funkcji wykładniczych postaci
e
xw
spełniaj¡cych nasz
równanie operatorowe, czyli takie, »e:
(
e
xw
)
00
=
a
2
s
2
e
xw
. Ró»niczkujemy lew¡ stron¦ i mamy:
w
2
e
xw
=
a
2
s
2
e
xw
. Dzielimy sobie przez
e
xw
(mo»emy bo funkcja
wykładnicza jest ró»na od zera wsz¦dzie):
w
2
=
a
2
s
2
. Czyli
w
=
−
as
lub
w
=
as
. Istniej¡ wi¦c tylko dwie funkcje
wykładnicze spełniaj¡ce nasze równanie i s¡ to
e
−
axs
oraz
e
axs
.
A skoro tak to nasze równanie b¦dzie spełnia¢
u
(
x
) =
c
1
e
−
axs
+
c
2
e
axs
.
1
Gdzie
c
1
i
c
2
to dowolne operatory (funkcje). Trzeba je jeszcze wyliczy¢
tak, »eby były spełnione warunki pocz¡tkowe:
u
(0) =
c
1
+
c
2
=
v
u
(
x
) =
c
1
e
−
ax
0
s
+
c
2
e
ax
0
s
= 0. Jak rozwi¡»emy ten układ równa« to mamy:
c
1
=
v
ostatecznie:
u
(
x
) =
(
e
−
axs
−
e
−
a
(2
x
0
−
x
)
s
)
v
1
−
e
−
2
ax
0
s
dla 0
¬
x
¬
x
0
.
2
1
−
e
−
2
ax
0
s
i
c
2
=
−
e
−
2
ax
0
s
v
1
−
e
−
2
ax
0
s
. I jak wstawimy do rozwi¡zania to jest
[ Pobierz całość w formacie PDF ]

rownanie, Studia WAT, ♣MATEMATYKA

Tematy