Rozw-kol. 24.11.2005, PG, Sem.3, Wytrzymałość Materiałów, kolokwia

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW C15 sem. III WILIŚ
Kolokwium nr 1 24 listopada 2005 godz. 18.30
Kolokwium nr 1 24 listopada 2005 godz. 18.30
- propozycje zadań z rozwiązaniami -
- propozycje zadań z rozwiązaniami -
Zadanie 1
. W płaskim stanie naprężenia dane są naprężenia główne: σ
1
= 100 [MPa]
i σ
2
= 20 [MPa]
Obliczyć naprężenia normalne σ
φ
i styczne τ
φ
w przekroju o normalnej nachylonej pod
kątem φ = 45 [º] do osi głównej (1) (rys. 1). Narysować koło Mohra dla naprężeń,
zinterpretować powyższy stan naprężenia jako punkt (M) na rysunku koła Mohra,
Obliczyć odkształcenia główne. Narysować koło Mohra dla odkształceń (w płaszczyźnie
wyznaczonej przez osie 1 i 2).
Dane są stałe materiałowe:
E
= 100 [GPa], ν = 0.2.
2
σ
2
σ
φ
σ
1
1
τ
φ
Rys. 1.
Rozwiązanie:
τ
σ
=
σσσσ
1
+
2
+
1
−
2
cos 2
ϕ
=
100 20
+
=
60[
MPa
]
60
ϕ
2
2
2
σ
σσ
−
100 20
−
τ
=−
1
2
sin 2
ϕ
=−
=−
40[
MPa
]
ϕ
2
2
20
100
−40
M
ε σ νσ
= − =
1
( ) (
1
100 0.2 20 9.6 10 [ ]
− ⋅ = ⋅
)
−
4
−
0.5γ
1
E
1
2
10
5
ε σ νσ
= − =
1
( ) (
1
20 0.2 100 0
− ⋅ =
)
ε
2
E
2
1
10
5
ε1 = 0.00096
ε σ σ
=− + =−
v
E
( ) ( )
0.2
100 20
+ =− ⋅ −
2.4 10 [ ]
−
4
3
1
2
10
5
ε
2
= 0
WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW C15 sem. III WILIŚ
Zadanie 2
. Obliczyć siły w prętach i reakcje podporowe w układzie złożonym z
nieskończonej sztywnej belki i prętów kratowych (rys. 2)
1
A
l
2A
l
2
P
A
1.5l
Rys. 2
2l
2l
Rozwiązanie:
Stan przemieszczeń układu określony jest przez kąt obrotu belki φ (rys.)
4 p.
⋅ ⋅
∆= ⋅ = +
ϕ
2
l
Sl Sl
1
⎧
S
=
4
3
A
ϕ
⎨
⎪
1
EA
2
1, 5
EA
1
4 p.
⇒
S
⋅
l
8
3
∆=⋅ =−
ϕ
4
l
2
S
=−
EA
ϕ
2 p.
2
EA
⎩
2
3 p.
∑
M
=⇒ ⋅ −⋅ −⋅ =
0
S l S l P l
2
4
2
0
A
1
2
∆
l
2
φ
4
EA
φ φ φ
+
16
EA
= ⇒=
P
3
P
∆
l
1
3
3
20
EA
stąd
S
=
0.2 ,
P S
2
= −
0.4
P
8 p.
S
1
A
0.2P
S
2
P
P
0.4P
4 p.
0.4P
l
1
l
1
Zadanie 3
. Sporządzić wykres ekstremalnych naprężeń normalnych w belce poddanej
działaniu obciążenia
q
= (rys. 3). Ile wynosi maksymalna wartość bezwymiarowego
1
kN
m
mnożnika obciążenia
m
, przy której nie zostaną przekroczone naprężenia dopuszczalne
200
σ ≡= ?
dop
K
g
Pa
4 4 4
1
kN
m
4
24
4
4 m
8 m
8 4 8 [cm]
Rys. 3
8 kN
Roziązanie:
2.667 kN
5.333 kN
5.333 m
+
x
MM
kNm
= =⋅ ⋅
0.5 5.333 5.333
=
-
max
=
14.222
=
1422.22
kNcm
x’
A
= + + =
4 12 24 20 224
(
)
cm
2
16
S
=⋅ ⋅+⋅ ⋅ +⋅ ⋅ =
=
4 12 2 4 24 16 4 20 30 4032
18
12 4
c
m
3
18
x
'
2
y
C
cm
12
⋅
3
4 24
⋅
3
I
= +⋅ ⋅ + +⋅ ⋅ +
12 4 16
2
4 24 2
2
x
12
12
x
y’= y
⋅
+ + ⋅ ⋅ =
20 4
3
20 4 12 28970.667
2
cm
4
12
σ
( )
x y
,
= =
M
x
y
1422.22
y
=
0.04909
y
⎡ ⎤
=
0.4909
[ ]
M
Pa
⎢ ⎥
I
28970.667
⎣ ⎦
2
x
y
= ⇒=
14
cm
σ
d
6.873
MPa
y
= − ⇒= −
18
cm
σ
g
8.837
MPa
Przy obciążeniu
q
= ekstremalne naprężenia są równe
1
kN
m
σ =
extr
8.837
MPa
Przy obciążeniu
m
-krotnie większym ekstremalne naprężenia wynoszą
[ ]
m
⋅
8.837
M
Pa
Warunek wytrzymałościowy:
[ ]
⋅
8.837
Pa K
≤ =
g
200
[ ]
Pa
⇒ ≤
m
22.633
kN
cm
m
Zadanie 4
. Sporządzić wykres naprężeń normalnych w przekroju cienkościennym słupa
jak na rys. 4. Podać równanie osi obojętnej, obliczyć wartości naprężeń w czterech
wierzchołkach przekroju (linii środkowej).
2
cm
60 kN
1
y
1
cm
2
60 kN
x
18
4
3
12
Rys. 4
Rozwiązanie:
118
⋅
3
212
⋅
3
I
=⋅ +⋅ ⋅⋅ =
2 12 2 9 4860
2
⎡ ⎤
cm
4
,
I
=⋅ +⋅⋅ ⋅ =
2
2 1 18 6 1872
2
⎡
cm
4
⎤
⎣ ⎦
⎣
⎦
x
12
y
12
[ ]
[ ]
M
x
=− ⋅ =−
18 60
1080
kNcm
,
M
y
=− ⋅ =−
12 60
720
kNcm
σ
( )
x y
= + =
M
x
y
M
y
x
−
1080
y
+ = − −
x
720
x
0.222 0.3846
y
I
I
4860
1872
x
y
Oś obojętna:
y
=−
1.731
x
y
( )
6
=−
cm
10.38
y
2
σσ
1
=− = ⎫
⎪
( )
( )
( )
( )
6, 9 0.3076
1
σσ
σσ
σσ
=
6, 9 4.3076
6, 9 0.3076
6, 9 4.3076
= −
⎪
⎡
⎤
⎬
⎢ ⎥
kN
cm
2
= − = −
⎪
⎪
⎣ ⎦
2
3
x
=−−=
4
⎭
4
3
4.3076
-
naprężenia normalne,
⎢
⎣ ⎦
kN
cm
2
+
4.3076
2
,
−
⎡
⎤
[ Pobierz całość w formacie PDF ]

Rozw-kol. 24.11.2005, PG, Sem.3, Wytrzymałość Materiałów, kolokwia

Tematy